圆周角和圆心角的关系证明

第三章 圆

3．圆周角和圆心角的关系（一）

教学目标为： 知识与技能

1． 了解圆周角的概念。

2．理解圆周角定理的证明。 过程与方法

1．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。

2．体会分类、归纳等数学思想方法。 情感态度与价值观

通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。 教学重点：圆周角概念及圆周角定理。

教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。

三、教学过程分析

本节课分为五个教学环节：创设问题情境引入新课、新知学习（关于圆周角的定义、圆周角定理）、练习、课堂小结、布置作业．

第一环节 创设问题情境，引入新课 活动内容：通过一个问题情境，引入课题

情境：在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？你能观察到这三个角有什么共同特征吗?

活动目的：

通过此问题引起学生学习的兴趣。此问题意在通过射门游戏引入圆周角的概

1

念。同时为第2课时的学习埋下伏笔．

第二环节 新知学习 活动内容：

（一）圆周角的定义的学习

为解决这个问

3．3圆周角和圆心角的关系（1） （圆周角定理）

A 一、知识点梳理

1、圆周角定义：顶点在圆上, 并且两边都和圆相交的角叫圆周角. . O 如图∠BAC是⊙O上的圆周角

B 圆周角∠A对着BC C

2、探索：如图在⊙O中，圆周角∠ABC和圆心角∠AOC 都对着AC，它们的大小有什么关系？请分别说明理由。

A C ●

A C ●

A C

O

O B B

B

（1） （2） （3）

结论：圆周角定理：________________________________________________.

例1：.如图（1）（2）（3）,在⊙O中,∠AOC=50°,则∠B=______. 3、弧、圆心角、圆周角的度数关系 A （1）圆心角与所对的弧的关系：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

O B （2）同弧所对的圆周角与圆心角的关系：圆周角的度数等于圆心角度数的一半。

（3）圆周角与所对的弧的关系：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

C例2：如图在⊙

第三章圆

《圆心角和圆周角的关系（第2课时）》

一、目标确定的依据

1、课程标准的相关要求

了解圆周角定理的推论2和推论3，并能把所有的推断组织为数学证明

2、教材分析

本节课对教材内容进行了重新加工，以学生熟悉的圆心角引入圆周角，学习新概念，并比较它们的异同.在探究圆周角和圆心角关系定理时，以“问题串”形式，教师创设问题情境，层层推进教学，使学生经历观察、操作、猜想、讨论、推理、归纳等数学活动，最后得到新知，并获得一些学习数学学习的方法.同时，课堂练习的设计力求符合不同层次学生的心理特点，通过练习，让不同层次学生体会到本节课是学有所得的，真正体现“使不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念.

3、学情分析

学生在本节的第一课时，通过探索，已经学习了圆心角和圆周角的关系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简单的练习对这个关系熟悉，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力.

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了化归和分类讨论的数学方法，获得了得到数学结论的过程中，可以采用的数学方法解决的经验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具备了一定的合作和交流的能力.

二、目标

本节共分2个课时，这是第2课时，主要研究圆

学科导学案

教师:李申国学生: 陈妍洁 日期:1230 星期:二 时段：17:30—19:30 课 题 学习目标与 考点分析 垂径定理、圆心角、圆周角 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 学习重点与难点 学习方法 难点：圆周角定理以及圆周角与圆心角的转化运用 分析法、综合法 学习内容与过程 要点1 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 垂径定理：_________________________________ ___________________________________________. 命题的题设与结论为： 题设：___________________________________ 结论:_____________________________________. 数学表达式表示为： ________________________________________________

第三章

圆

3.3圆周角与圆心角的关系(1)

1.圆心角的定义?

答:顶点在圆心的角叫圆心角.

2.圆心角的度数和它所对的弧的 度数的关系? 答：相等. 2、判断题： (1)相等的圆心角所对的弧相等 (2)等弦对等弧 . (3)等弧对等弦 . (4)长度相等的两条弧是等弧 . (5)平分弦的直径垂直于弦 .

.× × √ × ×

圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?

.AA

.O

.A.O

O

.

.

B BC

C

B

C

在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所 处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.

A

AO

C

●

C

B

B

思考：图中的∠ABC的顶点B 在圆的什么位置？∠ABC的两 边和圆是什么关系？

圆周角定义

圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.特征：B

A

O

.

① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.

C

练习：1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.

不是图1

不是图2

是图3

不是图4

不是图5

AE

C

BA E●

D

当球员在B,D,E处射门 时,他所处的位置对球门 AC分别形成三个张角 ∠ABC, ∠ADC,∠AEC. 这三个角的大小有什么 关系?.

圆周角: ∠ABC=∠ADC=∠AEC.B

O

D

类比

圆周角和圆心角的关系

填空题

1．如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=10cm，则PQ的值（ ）

2．如图，AC，BD是⊙O直径，且AC⊥BD，动点P从圆心O出发，设运动时间为T （秒），∠APB=y （度）， ①沿O?A?D?O路线作匀速运动； ②沿O?D?C?O路线作匀速运动； ③沿O?C?B?O路线作匀速运动； ④沿O?B?A?O路线作匀速运动．

则下列路线作匀速运动的图象是右图中表示y与t之间的函数关系最恰当的序号是 _________ ． 3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，则BA的长为 _________ ． 4．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=5，DB=7，则BC的长是 _________ ．

5．（2009?山西）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1=70°，∠A=40°，则∠C= _________ 度． 6．（2005?镇江）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，D、E是⊙O上两点，则∠D= 度，∠E= 度． 7．（2000?海南）如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，

1．圆周角是24°，则它所对的弧是___________．

2．在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是___________． 3．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有___________．

4．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___________．

角形外接圆半径长及各锐角的正切值．

6．如图，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠ABC．求AC的长．

7．已知：△DBC和等边△ABC都内接于⊙O，BC=a，∠BCD=75°（如图）．求BD的长．

9．如图，圆内接△ABC的外角∠MAB的平分线交圆于E，EC=8cm．求BE的长．

10．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=a．求DE的长．

11．如图，在⊙O中，F，G是直径AB上的两点，C，

∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB．求∠FDG的大小．

1

12．如图，⊙O的内接正方形ABCD边长为1，P为圆周上与A，B，C，D不重合的任意点．求PA2＋PB2＋PC2＋PD2的值．

13．如图，在梯形ABCD中

圆周角与圆心角（2）

一、计算题：

1、 直角三角形的斜边长是17，斜边上的高

为

4、如图，⊙O的半径为R，弦AB=a，弦

BC∥OA，求AC的长．

120，① 求三角形外接圆的半径； 17 ② 求各锐角的正切值.

2、 如图，在⊙O中，F、G是直径AB上的两

点，C、D、E是半圆上的点，如果弧AC的度数为60°，弧BE的度数为20°，且∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB． 求：∠FDG的大小．

5、如图，在△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠BCA的平分线交△ABC的外接圆于D，E和F，如果

，

，

分别为m°、n°、

p°，求△ABC的三个内角．

3、 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=135°，以A为圆心，AB为半径作⊙A交AD、BC于E、F两点，交BA的延长线于点G，求弧BF的度数．

6、如图，在⊙O中，BC，DF为直径，A，E为⊙O上的点，AB=AC，EF=

1DF． 2求：∠ABD+∠CBE的值．

1

7、如图，等腰△ABC的顶角为50°，AB=AC，以AB为直径作半圆交BC于点D，交AC于点E．求弧BD、弧DE和弧AE的度数． 10、如图，以△ABC的BC边为直径的半圆，

交AB于D，交AC于E，

圆周角与圆心角（2）

一、计算题：

1、 直角三角形的斜边长是17，斜边上的高

为

4、如图，⊙O的半径为R，弦AB=a，弦

BC∥OA，求AC的长．

120，① 求三角形外接圆的半径； 17 ② 求各锐角的正切值.

2、 如图，在⊙O中，F、G是直径AB上的两

点，C、D、E是半圆上的点，如果弧AC的度数为60°，弧BE的度数为20°，且∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB． 求：∠FDG的大小．

5、如图，在△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠BCA的平分线交△ABC的外接圆于D，E和F，如果

，

，

分别为m°、n°、

p°，求△ABC的三个内角．

3、 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=135°，以A为圆心，AB为半径作⊙A交AD、BC于E、F两点，交BA的延长线于点G，求弧BF的度数．

6、如图，在⊙O中，BC，DF为直径，A，E为⊙O上的点，AB=AC，EF=

1DF． 2求：∠ABD+∠CBE的值．

1

7、如图，等腰△ABC的顶角为50°，AB=AC，以AB为直径作半圆交BC于点D，交AC于点E．求弧BD、弧DE和弧AE的度数． 10、如图，以△ABC的BC边为直径的半圆，

交AB于D，交AC于E，

圆周角与圆心角、确定圆的条件、

直线和圆的位置关系周检测题

一、知识点:

1、 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 2、 圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3、圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 4、圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 5、圆的切线性质：圆的切线垂直于过切线的半径。 常用辅助线：见切线，连半径，得垂直。

6、圆的切线判定定理：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。 证切线，常用辅助线：有交点，连半径，证垂直。

二、基础训练：

1．下面命题中，正确的命题个数为（ ）

(1)顶点在圆周上的角是圆周角． (2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半． (3)90°的圆周角所对的弦是直径． (4)圆周角相等，则它们所对的弧也相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、如图1，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8