等体积法求点到平面距离

等体积法求点到平面距离

用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式

1V?Sh求出点到平面的距离h。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用

3到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解例子.

??的距离 例：所示的正方体ABCD?A?B?C?D? 棱长为a，求点A?到平面ABD

?垂直于平面ABD??于点H，则AH?长度为所解法(等体积法):如图所示，作AH???，易见底面ABD??的高为AH?，底面ABD???的高为AA?。对求。对于四面体AABD???的体积而言有： 四面体AABDVA?A?B?D??VA??AB?D?

11AA??S?A?B?D????AA?S?AH?S即有: ?A?B?D??AB?D?，也即: AH?33S?AB?D???为正三角形，?AB?D??600，进而可求得 由AB??B?D

网址：www.zs960.com 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功！ 点到平面的距离的几种求法

求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法．

例：已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离． 一、直接通过该点求点到平面的距离 １．直接作出所求之距离，求其长． 解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ， 连 结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于 是BQ是点B到平面EFG的

距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ＝

．

图1 图2 ２．不直接作出所求之距离，间接求之． （１）利用二面角的平面角．

张喜林制

2.2.4 点到直线的距离

教材知识检索

考点知识清单

1．点到直线的距离公式设P(x1,y1)是平面上一点，直线l:Ax By C 0(AB不同时为零），则P到L的距离d

2．平行线之间的距离公式

两条平行线l1:Ax By C1 0与l2:Ax By C2 0（A、B不同时为零）之间的距离d 要点核心解读

1． 点到直线的距离

点P(x1,y1)到直线Ax By C 0的距离

d |Ax1 By1 C|

A B22

(1)如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式方程．

(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然成立．

(3)求点到直线的距离的计算步骤：

①给点的坐标赋值：x1 ?,y1 ?,

②给A、B、C赋值：A ?,B ?,C ?; ③计算d |Ax1 By1 C|

A B22;

④给出d的值．

(4)点到几种特殊直线的距离．

①点P(x0,y0)到x轴的距离d

y0|;

②点P(x0,y0)到y 轴的距离d |x0|;

③点P(x0,y0)到直线y a的距离d |y0 a|;

④点P(x0,y0)到直线x a的距离d |x0 a|.

2．两条平行直线间的距离

两条平行直线l1:Ax By C1 0与l2:Ax By C2 0的距离为

d |C1 C

立 体 几 何习题课

例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。

S

E AF B

提示：设三棱锥S-ABC,侧面SAC、SBC为 等边三角形，边长为 6 ,SA SB。取SA中 点E,AB中点F,连接AE、BE、EF。可证得： SC 平面ABE。利用： VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE C 得三棱锥体积。

(KEY: 3 ) 注意：分割法求体积。

例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。 (解法2) S法二：取AB中点D,连接SD,CD。易得△ABC 为等腰直角三角形， ACB=90o。则有SD⊥AB, CD⊥AB。又SA=SB=SC,∴S在底面的射影为底 面的外心，即点D,∴SD⊥平面ABC。 C ∴由VS-ABC= 1 S SD得三棱锥体积。 3 △ABC

AD B

例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求D1到截面C1BD的距离。D1 A1 B1

C1

提示：利用 V D C B D =V B C D D 求解。1 1

1

1

DA B

C

KEY: 3 a3

注意：等体积法求点面距离。

例3、在各棱长均为1的

割补法求几何体体积

割补法求几何体体积

奉贤区致远高级中学 周叶青

一、教学目标 （一）知识目标

（1）对割补法在求几何体体积之中的作用有一定的了解和认识 （2）能对几何体进行简单的拼补或切割以达到求几何体体积的目的 （二）能力目标

学生在由教师以课件形式提供的问题情境及解决问题的提示、帮助下，通过独立思考，小组讨论等方法，自主探索问题的答案，以提高学生的空间想象力及自主学习，协作交流的能力；通过学生自己总结解题思路及解题要点，可提高他们的分析问题、迅速构建问题框架、及时提出解题方案、并准确用语言表达等综合能力。 （三）情感目标

情感是教学的润滑剂，通过学生自主学习，自主探索，加强同学之间的交流。使他们真正体验到主动学习、合作学习的愉悦，体验到成功的快乐，促使他们乐学，会学，从而达到学会的目的。

二、教学重难点

重点：割补法 [对几何体进行拼补与切割，是提高学生空间想象力的一种很好的练习方法]

难点：灵活割补，简化解题 [对几何体进行拼补或切割的最终目的是为了“转”，而如何根据已知条件，恰当地对几何体进行拼补或切割是初学者难以准确把握的突破难点的方法：

(1)动画演示切割或拼补的过程;

(2)一题多解,反复进行割补的训练,了解割或补的本质;

三、教学思想与教学方法

割补法求几何体体积

割补法求几何体体积

奉贤区致远高级中学 周叶青

一、教学目标 （一）知识目标

（1）对割补法在求几何体体积之中的作用有一定的了解和认识 （2）能对几何体进行简单的拼补或切割以达到求几何体体积的目的 （二）能力目标

学生在由教师以课件形式提供的问题情境及解决问题的提示、帮助下，通过独立思考，小组讨论等方法，自主探索问题的答案，以提高学生的空间想象力及自主学习，协作交流的能力；通过学生自己总结解题思路及解题要点，可提高他们的分析问题、迅速构建问题框架、及时提出解题方案、并准确用语言表达等综合能力。 （三）情感目标

情感是教学的润滑剂，通过学生自主学习，自主探索，加强同学之间的交流。使他们真正体验到主动学习、合作学习的愉悦，体验到成功的快乐，促使他们乐学，会学，从而达到学会的目的。

二、教学重难点

重点：割补法 [对几何体进行拼补与切割，是提高学生空间想象力的一种很好的练习方法]

难点：灵活割补，简化解题 [对几何体进行拼补或切割的最终目的是为了“转”，而如何根据已知条件，恰当地对几何体进行拼补或切割是初学者难以准确把握的突破难点的方法：

(1)动画演示切割或拼补的过程;

(2)一题多解,反复进行割补的训练,了解割或补的本质;

三、教学思想与教学方法

教学设计:点到直线的距离公式 设计者：卢伟峰

一、教学分析:

1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。

2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要

二、教学目标：（依据教纲和本节教材的特点确定） （1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。

B：掌握点到直线的距离公式。

（2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数

形结合能力。

（3） 情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生

的学习积极性。

三、教学重点：点到直线的距离公式。

四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。 五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外

显行为化。

六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则） 1、教师必

教学设计:点到直线的距离公式 设计者：卢伟峰

一、教学分析:

1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。

2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要

二、教学目标：（依据教纲和本节教材的特点确定） （1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。

B：掌握点到直线的距离公式。

（2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数

形结合能力。

（3） 情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生

的学习积极性。

三、教学重点：点到直线的距离公式。

四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。 五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外

显行为化。

六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则） 1、教师必

课 题：§1.5点到直线的距离公式

教学目标：

1、知识与技能

（1）让学生理解点到直线距离公式的推导过程 ，掌握点到直线距离公式及

其简单应用；

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。 2、过程与方法

（1）通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、

数学表达等基本数学思维能力；

（2）在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般

的方法.

3、情感态度与价值观

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神。同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣。

教学重点： 点到直线距离公式和简单应用． 教学难点： 点到直线距离公式的推导．

教学方法： 小组讨论、合作探究学习，教师启发讲授。 教学手段: 多媒体教学。 教学过程:

一、复习回顾

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的位置关系，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法. 问：1. 两直线的位置关系？2. 两直线的交点情况？3. 两点间的距离公式？

二、创设情境，引入课题

如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公

课 题：§1.5点到直线的距离公式

教学目标：

1、知识与技能

（1）让学生理解点到直线距离公式的推导过程 ，掌握点到直线距离公式及

其简单应用；

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。 2、过程与方法

（1）通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、

数学表达等基本数学思维能力；

（2）在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般

的方法.

3、情感态度与价值观

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神。同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣。

教学重点： 点到直线距离公式和简单应用． 教学难点： 点到直线距离公式的推导．

教学方法： 小组讨论、合作探究学习，教师启发讲授。 教学手段: 多媒体教学。 教学过程:

一、复习回顾

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的位置关系，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法. 问：1. 两直线的位置关系？2. 两直线的交点情况？3. 两点间的距离公式？

二、创设情境，引入课题

如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公