南工大概率论补考

概率论课程设计论文

1104202班 1110420211 蒋瑞晔

概率论在不等式中的应用

摘要：应用概率方法证明不等式，是个很有用的方法，建立适当概率模型，选择合适

的公式使不等式的证明得到简化。本文主要研究了应用概率论的方法证明代数不等式、积分不等式和相关理论的应用。

关键字：概率论 不等式 证明 广义积分

概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它有自己独特的概念和

方法，内容丰富，应用广泛。不等式是数学中一项非常重要的内容，它的应用也相当广泛，尤其是不等式的证明在数学中也越来越受到人们的重视 。因为把概率论的思想方法渗透到高等数学的中, 有助于加深和巩固对高等数学和概率论知识的

［1］

理解掌握, 了解各学科之间的紧密联系, 提高分析问题和解决问题的能力。

马尔科夫不等式是许多概率不等式的基础，从马尔科夫不等式很容易得到切比雪夫不等式，从切比雪夫不等式得到大数定理，大数定理从理论上解释了用频率近似地作为事件发生概率的基本思想。中心极

第一章练习题

1. 如图，设１、２、３、４、５、６表示开关，用Ｂ表示“电路接通”Ai表示“第i个开关闭合”请用Ai表示事件B

解：

B?A1A3?A2A3?A4?A5A6

2.一大型超市声称,进入商店的小偷有60%可以被电视监测器发现,有40%被保安人员发现,有20%被监测器和保安人员同时发现,试求小偷被发现的概率.

解：设事件A1表示被监测器发现，事件A2表示被保安人员发现，B表示小偷被

设事件A1表示被监测器发现，A2表示被保安人员发现，B表示小偷被发现。发现。

P（B）?P（A1?A2）?P（A1）?P（A2）?P（A1A2）?0.6?0.4?0.2?0.8

3. 周昂，李虎和张文丽是同班学生.如果他们到校先后次序的模式的出现的可能性是一样的，那么周昂比张文丽先到校的概率是多少？

2解：三人到校先后共有3！种情形，周昂比张文丽先到校有C3种情形。

2mC3P???0.5

n3!

4.甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年来,气象的记录,知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问

(1) 乙市为雨天时,甲市为雨天的概率是多少? (2) 甲市为雨天时,乙市为雨天的概率是多少? (3) 甲、乙两

第一章练习题

1. 如图，设１、２、３、４、５、６表示开关，用Ｂ表示“电路接通”Ai表示“第i个开关闭合”请用Ai表示事件B

解：

B?A1A3?A2A3?A4?A5A6

2.一大型超市声称,进入商店的小偷有60%可以被电视监测器发现,有40%被保安人员发现,有20%被监测器和保安人员同时发现,试求小偷被发现的概率.

解：设事件A1表示被监测器发现，事件A2表示被保安人员发现，B表示小偷被

设事件A1表示被监测器发现，A2表示被保安人员发现，B表示小偷被发现。发现。

P（B）?P（A1?A2）?P（A1）?P（A2）?P（A1A2）?0.6?0.4?0.2?0.8

3. 周昂，李虎和张文丽是同班学生.如果他们到校先后次序的模式的出现的可能性是一样的，那么周昂比张文丽先到校的概率是多少？

2解：三人到校先后共有3！种情形，周昂比张文丽先到校有C3种情形。

2mC3P???0.5

n3!

4.甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年来,气象的记录,知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问

(1) 乙市为雨天时,甲市为雨天的概率是多少? (2) 甲市为雨天时,乙市为雨天的概率是多少? (3) 甲、乙两

概率统计（A、闭）

院（系） ____ 班 级 ___ 学号 __ 姓名 ___ 八 九 一 二 三 四 五 六 七 题 总 分 分 一、填空题（每空2分，计18分） 1.假设P(A)=0.4， P(A∪B)=0.7，那么(1)若A与B互不相容，则P(B)= ______ ；(2)若A与B相互独立，则P(B)= ____ 。

2.将英文字母C,C,E,E,I,N,S随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为____________。

3.设随机变量?的概率密度为f(x)?1?e?x2?4x?4，则E?2? 。

4.设随机变量?与?相互独立，且均服从参数为0.6的0-1分布，则p? ????＝______。5.某人有外观几乎相同的n把钥匙，只有一把能打开门，随机地取出一把开门，记?为直到把门打开时的开门次数，则平均开门次数为__________。

6.设随机变量?服从B(8,)（二项分布）, ?服从参数为3的泊松分布，且?与?相互独立，则E(??2??3)＝__________；D(??2??3) =______

西安交大概率论上机实验报告matlab代码 有数字特征 等内容

实验三 数字特征等内容

一、实验目的

1.熟练掌握MATLAB软件的基本操作

2.更深刻理解数字特征及之后的知识

二、实验要求

教材p101 11 ，13仅E(X-2Y+3)，14 ，22，26 3 教材p139 7

4教材 p175 27，28，30

5 教材 p198 2，3-

6教材 p198 在下列两题中任意选一题

（1） p198 6，8

（2） p198 10

三、实验内容

1) 教材p101 11

>>clear;syms x;

fx=0.25*exp(-0.25*x);

EY=int(-300*fx,x,0,1) + int(100*fx,x,0, inf)

结果：

EY =300*exp(-1/4)-200

2) 教材p101 13仅E(X-2Y+3)

>> clear;syms x y;

fxy= (x+y)/3;

Ex=int(int(fxy*x,y,0,1),x,0,2)

Ey=int(int(fxy*y,y,0,1),x,0,2)

Ez=Ex- Ey*2+3

结果：

Ex =11/9

Ey =5/9

Ez =28/9 //z=X-2Y+3

3) 教材p

练习一

一、填空（3×5分，将正确答案填在横线上）

1．若A B，A C，P(A) = 0.9，P(B∪C) = 0.8，则P(A － B C) = ．

解 A BC,P(A BC) P(A) P(BC) 0.9 [1 P(B C)] 0.7

．

(ni{,}XY0)2．设X、Y为随机变量,已知P(X 0,Y 0) 2，则Pm

5

解 P(min{X,Y} 0) 1 P(min{X,Y} 0) 1 P(X 0,Y 0)

3．设X ～ U（0 ，2），则Y = X

y 0时,FY(y) P(X

2

2

的概率分布密度为

．

y) P( X

fX(x)dx; y 0时,FY(y) 0

y

4

fXy 0,y 0 [ y 0解fY(y) 0 ,y 0

0 ,y 0 0 ,y 0

4．设（X ，Y）～ N ( 1

， 2， 1，

2

2

222

，0) ，则 E(X

2

Y) =

2 ．

解 因(X,Y)~N( 1, 2, 1, 2,0),且 0,所以X,Y独立；

E(XY) E(X)E(Y) [D(X)

马鞍山师专数学教研室（韩海燕） 概率论与数理统计的起源和发展

概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题.在这以后100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题,但均未得到过正确的答案.

直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信,他们一起研究了默勒提出的关于骰子赌博的问题，于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。

三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变

量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

浅谈正态分布

摘要：正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。它概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数——平均值和方差决定。它是一种最常见的连续性随机变量的概率分布，其概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 关键词：高斯分布、概率分布、钟形曲线 一．正态分布的由来

正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。[1]

拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信

《概率论》课后练习（一）

第一章§1-1随机事件与概率

班级 姓名 座号 成绩

一．填空题（每空1.6分,共计8分）

1．一份试卷上有6道题。某学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误。现观察该学生做完试卷他答对的题数，则样本空间??____________________。

2．十件产品中三件次品，每次从中取1件（不放回抽样）直到将三件次品都取出，记录抽取到的正品数；则样本空间??_______________ 。

3. 一口袋中有许多红色、白色、蓝色的乒乓球，在其中任取出4 只，观察它们具有颜色的种数。则样本空间??______________________。

4..设某人向靶子射击3次，用 Ai表示“第i次射击击中靶子” (i?1,2,3)，试用语言描述下列事件：(1)A1?A2?A3 (2) A1?A2 二． 单项选择题（每小题2,共计8