量子力学第三章答案

第三章 量子力学中的力学量

223.1 一维谐振子处在基态 ??x?????xi2?2?t1e,求

?2(1) 势能的平均值 U?12??2x2; (2) 动量的几率分布函数;

T?p2(3) 动能的平均值 2?.

解: (1) 势能的平均值:

??U???*????x??x?Udx??2?????x?21??2??2x2dx?1?2??2??e??2x2dx???x?1?12??2????2?3?14??2112?1?2?4??????4??(2) 动量的几率分布函数

??C?p????*px?x???x?dx?1??x?e?i?pxdx??2??????1??2x2i2????e??2?2?te?i?pxdx????2??1??i?2?t2??x2?2ip???2x??2????edx???e??22

??i2?t?p?2?ip?2?22?2?32?e?e2?e??2??x????d??ip?????x???2??p2??e?2?2?2?i?t2?22?32???e?y2?dy??p2?12?2?22?t??e??i?所以

C?p?2?12?p?2?2???e

(3) 动能的平均值T?p22?

??p2T?1?22?p2?12???

第三章 力学量用算符表达

§3.1 算符的运算规则

一、算符的定义：

算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

??v Au表示?把函数u变成 v， ?就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符

满足如下运算规律的算符?，称为线性算符

?(c??c?)?cA??? A11221?1?c2A2其中c1, c2是任意复常数，?1, ?2是任意两个波函数。

????i??， 例如：动量算符p单位算符I是线性算符。 2、算符相等

?对体系的任何波函数?的运算结果都相同，即A?相等记为???B??，则算符?和算符B若两个算符?、B??B?。 A3、算符之和

??B?称为算符之?对体系的任何波函数?有：(A??C??B???B??，则A?)??A???C若两个算符?、B和。

??B?，A??B??A??(B?)?(A??B? ??C?)?C A4、算符之积

??，定义为 ?之积，记为AB 算符?与B??)??A?(B?? ??)?C(AB???BA??。 ?是任意波函

.

精品 第三章 算符和力学量算符

3.1 算符概述

设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：

?Fu

v = （3.1-1） ?F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx

=，22xu v =

3v =

，(,)x t ?∞

-∞，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x

dx ∞

-∞?，x i p x h e -?都是算符。

1．算符的一般运算

（1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu

Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu

Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu

Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG

GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符

（1）单位算符

对于任意涵数u ，若?I

u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符

对于任意函数u 与v ，若

第三章 力学量用算符表达

§3.1 算符的运算规则

一、算符的定义：

算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

??v Au表示?把函数u变成 v， ?就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符

满足如下运算规律的算符?，称为线性算符

?(c??c?)?cA??? A11221?1?c2A2其中c1, c2是任意复常数，?1, ?2是任意两个波函数。

????i??， 例如：动量算符p单位算符I是线性算符。 2、算符相等

?对体系的任何波函数?的运算结果都相同，即A?相等记为???B??，则算符?和算符B若两个算符?、B??B?。 A3、算符之和

??B?称为算符之?对体系的任何波函数?有：(A??C??B???B??，则A?)??A???C若两个算符?、B和。

??B?，A??B??A??(B?)?(A??B? ??C?)?C A4、算符之积

??，定义为 ?之积，记为AB 算符?与B??)??A?(B?? ??)?C(AB???BA??。 ?是任意波函

3.5.1 质量为2kg的质点的运动学方程为

???(3t2?3t?1)?， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向r?(6t2?1)ij（单位：米，秒）

大小。

??6???12?解：∵a?d2r/dt2?12ij, F?ma?24ij 为一与时间无关的恒矢量，∴

质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N，力与x轴之间夹角为：

??????arctgFy/Fx?arctg0.5?26?34'

3.5.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：

???bsin?t?r?acos?tij，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

??bsin?t?证明：∵a?d2r/dt2???2(acos?tij)???2r ???F?ma??m?2r, ∴作用于质点的合力总指向原点。

3.5.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？

解：以地为参考系，设谷物的质量为m

第三章：弹性变形及其本构方程

3-5．试依据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证明泊松比V的上下限为0＜V＜

1； 2σ11=σ

22=σ33=p σ12=σ23=σ31=0

证明：当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时，其应力分量为：

p，e为体积应变。 e将上述应力分量的值代入广义胡克定律：?ij?2G?ij???ije 得：

如果我们定义材料的体积弹性模量为k，则显然：k=

?p?2G?1??e??p?2G?2??e?p?2G???e3??三式相加得：3p??3??2G?e

1?2G?3?????2G……………………（1） 33将p=ke代入上式得：k?由弹性应变能u0的正定性（也就是说在任何非零的应力值作用下，材料变形时，其弹

性应变能总是正的。）知k＞0，E＞0，G＞0。

因：u0?uor?uod?1211I1?J2?ke2?Geijeij 18k2G2我们知道体积变形e与形状变化部分，这两部分可看成是相互独立的，因此由uo的正

定性可推知： k＞0，G＞0。 而又知： E?9kG 所以：E＞0。

3k?G我们将（1）式变化为：

k?

222GV2G?1?2V

第二章 波函数与Schr?dinger方程

2.1设质量为m的粒子在势场V(r?)中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 E??d3r??，

???2?*???*2m?V? （能量密度）

（b）证明能量守恒公式 ?w???2???s?0s?????**??t?2m??t??????t?????（能流密度） ?证：（a）粒子的能量平均值为（设?已归一化）

??2E???*??2????V??2m??d3r?T?V （1） ?V??d3r?*V? （势能平均值） （2）

T??d3r?*?????22???(动能平均值)?2m???

2???3*2m?dr?????*??????????????其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。T??23??*2m?dr??? （3）

2结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度???**2m???????V?, （4）

且能量平均值 E??d3r?

? ? ? ? ? ? ? 第一章 绪论

第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射

第七章 自旋和全同粒子

?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10m?C。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8?h?31 ??d??d?， h?3c ekT?1c c及?? 、d???2d?得 ?? 8?hc1?? ?5， hc?e?kT?1

d?hc令x? ，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? kTxex 5?x e?1

hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?0C ?mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09A p2mE

# 3E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。 1.3. 氦原子的动能为 2 h0hh?10??12.63?10m?12.63A 解：? ??p2mE3mkT ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J

力学基础 第三章 刚体力学

第三章 刚体力学

§ 3—1 刚体的定轴转动

在上述两章中，我们介绍了质点运动的一些重要规律，现在简单地介绍具有一定形状和大小的物体的运动规律．当研究物体的运动不能忽略物体的大小和形状时，质点模型就不适用了。这时，可以把物体看作是由若干质点组成的质点系。当这种质点系受到外力的作用时，有的形状和大小随着运动状态的改变而作明显的改变（例如流体和弹性体），有的形状和大小实际上只有微小的变化，例如大多数固体。当固体在运动中其形状和大小的相对改变可以作为次要因素忽略不计时，可以把固体看作是由若干彼此维持固定距离的质点组成，这种理想模型就是刚体．刚体无论在多大的外力作用下，其形状和大小都保持不变，或者说，刚体在任何情况下，刚体内任意两个质点之间的距离保持不变．例如研究地球的自转或飞轮的转动时，我们即可把地球、飞轮看成刚体．刚体也是常用的力学模型．

刚体的最简单的运动是平动和转动．当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动称为平动（图3—1a）．例如升降机的运动，汽缸

第三章 金属凝固热力学与动力学

1． 试述等压时物质自由能G随温度上升而下降以及液相自由能GL随温度上升而下降的斜率大于固相GS的斜率的理由。并结合图3-1及式（3-6）说明过冷度ΔT是影响凝固相变驱动力ΔG的决定因素。

答：(1)等压时物质自由能G随温度上升而下降的理由如下：

由麦克斯韦尔关系式：

dG??SdT?VdP （1）

??F???F??y)??dy ?dx??????x?y??y?x??G???G??dT???dP （2）

??T?P??P?T??G????V ?P??T并根据数学上的全微分关系：dF(x,得： dG????G????S,比较（1）式和（2）式得： ??T??P等压时dP =0 ，此时 dG??SdT????G??dT （3） ??T?P由于熵恒为正值，故物质自由能G随温度上升而下降。

(2)液相自由能GL随温度上升而下降的斜率大于固相GS的斜率的理由如下： 因为液态熵大于固态熵，即： SL ＞ SS 所以：