数学建模实验报告最短路径

HUNAN UNIVERSITY

课程实习报告

题 目： 最短路径问题 学生姓名 学生学号 20110801328 专业班级 计算机科学与技术（3）班 完 成 日 期 2013.5.29

一、 需 求 分 析：

1.若用有向网表示某地区的公路交通网，其中顶点表示该地区的

一些主要场所，弧表示已有的公交线路，弧上的权表示票价。试设计

一个交通咨询系统，指导乘客以最少花费从该地区中的某一场所到达

另一场所。

2.本程序要求：

（1）从文件中读取有限网中顶点的数量和顶点间票价的矩阵。

（2）以用户指定的起点和终点，输出从起点到终点的花费。

3.在dos系统下输入起点，并输出最短路径。

4.测试数据：

输入

（文件）

5 －1 10 3 20 －1

－1 －1 －1 5 －1

－1 2 －1 －1 15

－1 －1 －1 －1 11

－1 －1 －1 －1 －1

（用户）

起点 0

终点 4

输出

18

实验课程名称 数据结构课程设计 专 业 班 级

学 生 姓 名 学 号 指 导 教 师

2012至 2013学年第 一 学期第 1 至 9 周

目录

一、概述： ..................................................................................................................... 3 1.1 问题描述............................................................................................................... 3 1.2 系统实现的目标.....

交巡警服务平台的设置与调度

摘要

本论文主要是关于图论中的“最短路径问题”和“最优搜索问题”。问题所述的模型已经很自然地用图表示出来，所以我们运用图的性质和算法来求解问题。

图论中求最短路径通常采用dijkstra算法，但本题涉及的交巡警平台数量较多，即求多个源点到其它所有顶点的距离，所以采用floyd算法求解比较简单，其基本思想是通过程序得到每个节点到其他节点的最优距离。

针对问题一，用floyd算法算出每个交巡警平台3分钟内所能到达的全部节点，这些节点就是平台的管辖范围，但仍有3分钟内不能到达的节点，这些节点处就应该增设交巡警服务平台。在快速封锁13条交通要道时，要遵循封锁时间最短、每个平台的警力最多封锁一个路口的原则，运用LINGO程序解答。最后分析得到出警时间至少大于3分钟的节点，及工作量最大的平台，在这些节点处需要增加3个服务平台。

针对问题二，需要对发案率进行降序排列，筛选出发案率较高，但是未设置交巡警服务平台的节点。根据六个城区的基本数据，得到每个平台管辖的面积和人口，比较各平台的工作量，从而找出不合理的理由。在搜捕犯罪嫌疑人时要遵循两个原则：搜捕时间最短和围堵区域最小。根据逃犯的位置和逃跑的可能路径建立关于时间T的目标函数和初

目 录

一、概述 ......................................... 1 二、系统分析 ..................................... 1 三、概要设计 ..................................... 2 四、详细设计 ..................................... 5 4.1建立图的存储结构 ........................... 5 4.2单源最短路径 ............................... 6 4.3任意一对顶点之间的最短路径 ................. 7 五、运行与测试 ................................... 8 参考文献 ........................................ 11 附录 ............................................ 12

交通咨询系统设计（最短路径问题） 一、概述

在交通网络日益发达的今天，针对人们关心的各种问题，利用计

算机

目 录

一、概述 ......................................... 1 二、系统分析 ..................................... 1 三、概要设计 ..................................... 2 四、详细设计 ..................................... 5 4.1建立图的存储结构 ........................... 5 4.2单源最短路径 ............................... 6 4.3任意一对顶点之间的最短路径 ................. 7 五、运行与测试 ................................... 8 参考文献 ........................................ 11 附录 ............................................ 12

交通咨询系统设计（最短路径问题） 一、概述

在交通网络日益发达的今天，针对人们关心的各种问题，利用计

算机

灾情巡视路线的数学模型

摘 要

本文研究的是根据某县的乡（镇）、村公路网示意图，如何在不同条件下制定出最佳灾情巡视方案的问题。

针对问题一：首先将公路网转化为一张无向赋权图并构造其邻接矩阵，然后根据Dijkstra算法求出任意两点间的最短距离及O点到其余顶点的最短路，最短路构成了一棵以O为树根的最小生成树，将干枝分为三组，每组各顶点间的最短路构成一个完备加权图，再建立混合整数规划模型求其最佳H圈。再逐步调整，使三组中路程较长者减小，最后得到三个组路程分别为204.9km、208.8km和205.3km，最长路程为208.8km，路程均衡度为1.9%，总路程为619km。

针对问题二:依题意至少需要4组，根据问题一中得到的最小生成树将顶点分为4组，利用问题一中的算法，求出每组的最佳H圈，然后逐步调整，使四组中用时较长者减小，最后得到四个组所用时间分别为21.9h、22.41h、22.12h和21.66h，最长时间为22.41h，时间均衡度为3.3%。

针对问题三:根据O点到最远点的距离确定时间上界，然后根据时间上界和到O点的距离由远及近确定最优巡视路线，得最优方案为分23组，巡视时间为6.43h，具体路径见问题三解答。

针对问题四：以

最短路径问题作图练习

1.已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？ 作法：

2.已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？ 作法：

3. 如图，直角坐标系中有两点A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。

.A . B 作法：

4. 如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？

作法：

CM

AB N O

5. 如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，

AP+PQ+QB的长最短？

作业：

6.．．

.已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M． （1）如图1，在l上求作一点M，使得｜ AM－BM ｜最小； 作法：

图1

（2）如图2，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大； 作法：

图2

初中数学：最短路径问题专题学习

【基本问题】

【问题1】 AlB作法 图形 原理 连AB，与l交点即为P． 两点之间线段最短． PA+PB最小值为AB． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题2】“将军饮马” ABl作法 作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P． 图形 原理 两点之间线段最短． PA+PB最小值为A B＇． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题3】 l1作法 图形 原理 Pl2分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N． 两点之间线段最短． PM+MN+PN的最小值为 线段P＇P＇＇的长． 在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小． 【问题4】 l1QPl2作法 分别作点Q 、P关于直线l1、l2的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N． 图形 原理 两点之间线段最短． 四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长． 在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． 【问题5】“造桥选址”

AMNBmn作法 将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N

最短路径问题（刁老师数学）

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结

点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】 【问题1】 AlB作法 A图形 原理 连AB，与l交点即为P． PBl两点之间线段最短． PA+PB最小值为AB． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题2】“将军饮马” ABl作法 A作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P． 图形 原理

图论最短路径问题 在消防选址中的应用

【摘 要】 最短路径问题是图论解决的典型实际问题之一，可用来解决管路铺设、线路

安装、厂区布局和设备更新等实际问题。介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。

【关键词】 最短路径；Floyd算法；消防

1 引言

图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。

2 图论基本概念

2.1 图的定义

有序三元组G?(V,E,?)称为一个图，其中：

(1)V?(V1,V2,?,Vn)是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E称为边集，其元素叫做图的边；

(3)?是从边集E