利用哈密顿原理推导出拉格朗日方程

由哈密顿原理推导拉格朗日方程

一、问题重述

已知哈密顿原理δ 求证拉格朗日方程

d

t2

Ldtt1?L

α

=0

?L

α

??q=0

dt?q二、问题分析及证明

已知L是q,q??,t 的函数，由哈密顿原理可知，并记住δt=0,即为

t2?Ls α=1 ti?qα

δqa+

?L?qα

δqα dt=0……(1)

?????????? ??????

其中

s??=1

??????

???????? ??

???? ??= s??=1

??

???? ??=

????=1

??

???????? ??

?????? ? s??=1

??

???????? ??

s

(

????

)??????……(2)

（2）代入（1）式得：

???????????????? ??????+ ?????? ? ()?????? ????=0

??q???????? ???????? ??????????

??=1

??=1

??=1

??2

= sα=1

?L?qα

s δqα|t2 t1+ α=1ti

t2?L?qα

?

d

dt?qα

(

?L

) δqαdt=0……(3)

2

因两端点相同，故??????|????1=0 （?=1,2，….s）

故(3)中的第一项为零，而（3）式简化为

t2ti

s

α=1

?Ld?

目 录

摘 要................................................................................................................... 1 关键字................................................................................................................... 1 Abstract ................................................................................................................. 1 Key Words............................................................................................................ 1

1引 言.............................

欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义

定义15.1 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路, 通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路. 具有欧拉回路的图称为欧拉图, 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图.

从定义不难看出, 欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路（经过所有顶点的通路称为生成通路）, 类似地, 欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路.

在这里做个规定, 即平凡图是欧拉图.

图15.1

在图15.1所示各图中, e1e2e3e4e5为（1）中的欧拉回路, 所以（1）图为欧拉图. e1e2e3e4e5为（2）中的一条欧拉通路, 但图中不存在欧拉回路（为什么？）, 所以（2）为半欧拉图. （3）中既没有欧拉回路, 也没有欧拉通路（为什么？），所以（3）不是欧拉图, 也不是半欧拉图. e1e2e3e4为（4）图中的欧拉回路, 所以（4）图为欧拉图. （5）,（6）图中都既没有欧拉回路, 也没有欧拉通路（为什么？）

判别定理

定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图, 且G中没有奇度顶点.

证 若G是平凡图, 结论显然成立. 下面

欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义

定义15.1 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路, 通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路. 具有欧拉回路的图称为欧拉图, 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图.

从定义不难看出, 欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路（经过所有顶点的通路称为生成通路）, 类似地, 欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路.

在这里做个规定, 即平凡图是欧拉图.

图15.1

在图15.1所示各图中, e1e2e3e4e5为（1）中的欧拉回路, 所以（1）图为欧拉图. e1e2e3e4e5为（2）中的一条欧拉通路, 但图中不存在欧拉回路（为什么？）, 所以（2）为半欧拉图. （3）中既没有欧拉回路, 也没有欧拉通路（为什么？），所以（3）不是欧拉图, 也不是半欧拉图. e1e2e3e4为（4）图中的欧拉回路, 所以（4）图为欧拉图. （5）,（6）图中都既没有欧拉回路, 也没有欧拉通路（为什么？）

判别定理

定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图, 且G中没有奇度顶点.

证 若G是平凡图, 结论显然成立. 下面

9、动力学普遍方程与拉格朗日方程

9.1内容提要

将虚位移原理和达朗伯原理结合起来，可推导出质点系动力学普遍方程和拉格朗日方程，用来解决非自由质点系的动力学问题。本章的理论要点见表9-1。 表9-1 动力学普遍方程与第二类拉格朗日方程表达式 方 内 容 表达式 程 动具有理想约束的质点系运动时，在任（Fi?FiI）??r?0 力一瞬时，作用于质点系的所有主动力和惯??r?0 学性力在任何虚位移上所作虚功之和等于或 （Fi?miai）解析表达式为： 普零。 遍?j)?xj?(Yj?mj??j)?yj (Xj?mj?xy方?i）?zi]?0 ?（Zi?mi?z程 由n个质点组成的质点系，受完整的 第理想约束，其自由度为k个，用k个广义d?T?T（）??Qj 二坐标qj（j=1，2，…，k）确定质点系的位?dt?qj?qj类置。 （j?1，2，?，k） 拉?j为广义速式中T为质点系的动能，q格朗度，Qj为对应于广义坐标qj的广义力。 当作用于质点系的主动力是有势力d?T日?T?V （）???方时。 ?jdt?q?qj?qj程 式中，L=T–V，表示质点系的动能与d?L?L势能之

理论力学打印版

第8章第二类拉格朗日方程及其应用

作业: 8-2;8-4;8-5

第8章第二类拉格朗日方程及其应用

第1节第二类拉格朗日方程

参考题:

8-1;8-8;8-12

2002年12月17日

2002年12月17日

广义坐标中的达朗伯广义坐标中的达朗伯 -拉格朗日原理第8章第二类拉格朗日方程及其应用理想完整约束系统:广义坐标为 q1, q2,…, qN N质点i矢径:完整 rδ ri=∑ iδ qk ri= ri ( q1,q 2,,qN, t) L qk k=1质系动力学普遍方程:∑ f iδ ri∑ mi aiδ ri= 0n n

∑ fδ r=∑∑ f qδ q{n N n i=1 i i k=1 i=1 i kn n

ri

i=1

i=1

k

理想

Qk广义主动力 N r&∑ mi aiδ ri=∑ mi ri&∑ qikδ qk i=1 i=1 k=1 N r n=∑∑ m i ri& iδ qk& qk k=1 i=1

∑ (Qk=1

N

k

*+ Qk )δ qk= 0

完整系统

{

Qk+ Qk*= 0广义主动力和广义惯性力相互平衡!

由动能定理到第二类拉格朗日方程第8章※动能定理:第动能是恒正的标量,运算方便;二能量在物理中具有

哈密顿算符不同形式下的表达式

胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。

关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用

1.引言

在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：

T V p 2/2m V H

r )出发，位置算符是空间矢量自身： r如果我们从波函数 (r

z x ，y y ， z它的分量是 x

i 动量算符表示为 p

它的分量是 p x i

x

，p ，p z i y i

y z

对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则p i 得到

2 V H

2m

2

在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了

哈密顿算符不同形式下的表达式

胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。

关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用

1.引言

在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：

??T??V??p?2/2m?V H?)出发，位置算符是空间矢量自身： r??r 如果我们从波函数???(r??x ，y??y ， z它的分量是 x??z ???i?? 动量算符表示为 p?x??i? 它的分量是 p??? ，p?z??i? ?y??i? ，p?x?z?y对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则p??i??得到

?22?H????V

哈密顿算符不同形式下的表达式

胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。

关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用

1.引言

在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：

T V p 2/2m V H

r )出发，位置算符是空间矢量自身： r如果我们从波函数 (r

z x ，y y ， z它的分量是 x

i 动量算符表示为 p

它的分量是 p x i

x

，p ，p z i y i

y z

对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则p i 得到

2 V H

2m

2

在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了

拉格朗日插值绘制龙格现象

一、问题叙述

龙格反例1/(1+x^2)说明高次代数插值会导致误差很大。在区间[-5,5]上取等距结点构造10次拉格朗日插值多项式用计算机绘制图形显示龙格现象。 二、理论分析

1. 拉格朗日插值：假设有（n+1）个拉格朗日插值结点x0?x1??xn ，已知函数值

y0?f(x0),y1?f(x1),,yn?f(xn)

求n次多项式Ln(x)使其满足插值条件f(xj)?yj(j?0,1,,n)

类似于二次插值方法，根据插值结点构造(n+1)个拉格朗日插值基函数

lk(x)?(x?x0)?(x?xk?1)(x?xk?1)?(x?xn)

(xk?x0)?(xk?xk?1)(xk?xk?1)?(xk?xn)?1j?k每一个基函数都是零点多项式lk(xj)??,(j?0,1n)

0j?k?Ln(x)满足插值条件 Ln(xj)?f(xj)拉格朗日插值基函数：lk(x)??j?0j?kn(j?0,1,,n)

(x?xj)(xk?xj)拉格朗日插值多项式：Ln??lj(x)yj

j?0n2. 切比雪夫插值：n阶切比雪夫多项式定义为