数学培优竞赛讲座

新课标七年级数学竞赛讲座

第十八讲 乘法公式

乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式；

3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；

4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题

【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题)

思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．

注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类

第十八讲 乘法公式

乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式；

3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；

例题

【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题)

思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．

注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．

从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察

新课标七年级数学竞赛讲座

第十八讲 乘法公式

乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式；

3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；

4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题

【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题)

思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．

注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类

计算技巧

数学给予人们的不只是知识，更重要的是能力，这种能力包括直观思维、逻辑思维、精确计算和准备判断。 ———— 王梓坤

1. 计算1+11+21+31+41+9+19+29+39+49

2. 计算29+299+2999+29999+299999

3. 计算4952—267—652

4. 计算6374—2997—998

5. 计算64×25×87×125×5

6. 计算199÷16—24÷16—15÷16

7. 计算15×213÷27+15×327÷27

8. 计算1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）

9. 计算4567—3456+1056—167

10. 计算（1）85×27+85×73 2）99×99+99 （

11. 计算（1）125×31 （2）998+1413+9989

12. 计算9÷

2010年中学数学竞赛辅导讲座(经典竞赛辅导资料)

数学竞赛辅导讲座：同余

知识、方法、技能

同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本讲介绍同余的基本概念，剩余类和完全剩余系，同余方程，整数模的阶和中国剩余定理.

Ⅰ.基本概念

定义一：设m是一个给定的正整数.如果两个整数a、b用m除所得的余数相同，则称a、b对模m同余，记为a≡b（modm）；否则，记为ab（modm）.

例如，15≡7（mod4），－12（mod7）.

同余有如下两种等价定义法：

定义一* 若m|a－b，则称a、b对模m同余.

定义一**若a=b+mt(t∈Z)，则称a、b对模m同余.

同余的基本性质：

（1）a 0(modm) m|a.

（2）a a(modm)(反身性)

a b(modm) b a(modm)(对称性)

a b(modm) a c(modm)(传递性)b c(modm)

（3）若a b(modm),c d(modm),则

①a c b d(modm);

②ac bd(modm).

（4）若ai bi(modm),i 0,1,2, ,n.则,anxn a1x a0 bnxn b1x b0(modm).特别地，设f(x) anxn a1x a0(ai

2010年中学数学竞赛辅导讲座(经典竞赛辅导资料)

数学竞赛辅导讲座：同余

知识、方法、技能

同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本讲介绍同余的基本概念，剩余类和完全剩余系，同余方程，整数模的阶和中国剩余定理.

Ⅰ.基本概念

定义一：设m是一个给定的正整数.如果两个整数a、b用m除所得的余数相同，则称a、b对模m同余，记为a≡b（modm）；否则，记为ab（modm）.

例如，15≡7（mod4），－12（mod7）.

同余有如下两种等价定义法：

定义一* 若m|a－b，则称a、b对模m同余.

定义一**若a=b+mt(t∈Z)，则称a、b对模m同余.

同余的基本性质：

（1）a 0(modm) m|a.

（2）a a(modm)(反身性)

a b(modm) b a(modm)(对称性)

a b(modm) a c(modm)(传递性)b c(modm)

（3）若a b(modm),c d(modm),则

①a c b d(modm);

②ac bd(modm).

（4）若ai bi(modm),i 0,1,2, ,n.则,anxn a1x a0 bnxn b1x b0(modm).特别地，设f(x) anxn a1x a0(ai

1 数学竞赛辅导讲座：高斯函数

知识、方法、技能

函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.

定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==

由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：

（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[

（2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且.

（3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.

（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.

图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2

（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,.

（6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i

n i i R x x x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];

高等代数

数学竞赛课程辅导讲座

第一讲 多项式

1多项式的整除与相等

多项式的整除

利用多项式的根的性质证明两个多项式的整除是常用的方法。 如果多项式g(x)的每一个复根都是f(x)的根，且多项式g(x)没有重根，那么g(x)f(x)。

例1 设g(x)?1?x?x2???xn?1，f(x)?(g(x)?xn)2?xn，证明g(x)f(。x) 证法1设?是g(x)?1?x?x2???xn?1的任一根，则?n?1。而

f(?)?(g(?)??n)2??n?0

?也是f(x)的根，而且多项式g(x)没有重根，所以g(x)f(x)。 证法2

f(x)?(g(x)?xn)2?xn?g(x)2?2xng(x)?x2n?xn

?g(x)[g(x)?2xn]?xn(xn?1)?g(x)[g(x)?2xn]?xn(x?1)g(x)

?g(x)[g(x)?xn?xn?1]

即g(x)f(x)。

例2 证明多项式

g(x)?1?x2?x4?x6???x2(2n?1)

不能整除多项式

f(x)?1?x4?x8?x12???x4(2n?1) 证明 本题仍考虑用多项式的根。由

(x2?1

高等代数

数学竞赛课程辅导讲座

第一讲 多项式

1多项式的整除与相等

多项式的整除

利用多项式的根的性质证明两个多项式的整除是常用的方法。 如果多项式g(x)的每一个复根都是f(x)的根，且多项式g(x)没有重根，那么g(x)f(x)。

例1 设g(x)?1?x?x2???xn?1，f(x)?(g(x)?xn)2?xn，证明g(x)f(。x) 证法1设?是g(x)?1?x?x2???xn?1的任一根，则?n?1。而

f(?)?(g(?)??n)2??n?0

?也是f(x)的根，而且多项式g(x)没有重根，所以g(x)f(x)。 证法2

f(x)?(g(x)?xn)2?xn?g(x)2?2xng(x)?x2n?xn

?g(x)[g(x)?2xn]?xn(xn?1)?g(x)[g(x)?2xn]?xn(x?1)g(x)

?g(x)[g(x)?xn?xn?1]

即g(x)f(x)。

例2 证明多项式

g(x)?1?x2?x4?x6???x2(2n?1)

不能整除多项式

f(x)?1?x4?x8?x12???x4(2n?1) 证明 本题仍考虑用多项式的根。由

(x2?1

竞赛讲座01－奇数和偶数

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质：

（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；

（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题

例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？

□+□=□， □-□=□，

□3□＝□ □÷□＝□.

解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组

是整数，那么

（A）p、q都是偶数. （B）p、q