排列组合的隔板法的例题

典型例题一

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．

如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．

如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3

3个来排列，故有A9个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一

11个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A4． ?A8?A82（个）

∴ 没有重复数字的四位偶数有

311 A9?A4?A8?A82?504?179?2229个．6

3 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有A9个；当个位数上排2

排列组合公式

复习排列与组合

考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。

考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。

难点：不重不漏。

知识要点及典型例题分析：

1．加法原理和乘法原理

两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。

例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。

解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。

（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不

1．分类计数原理: 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+ +nM种不同的方法．

2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法, ,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3· nM 种不同的方法．

注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。

3. 排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元．．．．．．素的一个排列.

排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不

江苏扬州市邗江区实验学校（２２５００９） 王兴伟教学目标：１．通过观察、猜测、实验等活动，使学生找出最简单事物的排列数和组合数。２．让学生经历探索简单事物排列组合的过程，感受数学与现实生活的紧密联系，初步感悟简单的排列、组合的数学思想方法。３．培养学生有顺序、全面思考问题的意识，体验获得成功的快乐，激发学生学习数学的兴趣。教学过程：一、情境导入，渗透排列１．猜年龄师随机先猜测几个学生的年龄，然后请学生猜师的年龄，猜对有奖。２．设疑激趣师：老师为什么能猜出你们的年龄，而你们猜不出老师的年龄呢？３．引导提示师：老师的年龄是由１和４两个数字组成的两位数，想一想，老师的年龄是多少岁呢？为什么？还有其他的可能吗？二、探究方法，寻找规律１．感知排列方法（１）猜密码（出示装奖品的包，上面有个三位数密码锁）：老师将密码忘记了，谁能帮老师想办法打开这把锁？（２）师提示：老师只知道密码是１、２、８三个数字，请大家想办法将密码试出来。怎样试呢？（３）激发思考：比一比，看谁能最快写出所有的三位数。２．探讨排列方法（１）学生汇报交流，师用实物投影展示并板书。预设学生出现以下几种方法：随机写，先确定首位再写数，先确定中间数再写数，先确定末尾数再写数。（２）师生评议方法，

排列组合中的分组问题

单位：新沂市高级中学 姓名：宋小林

排列组合的内容紧密联系实际，知识背景丰富，题型丰富多样。在高考中常用现实社会热点问题为载体进行考查，常考常新。而分组问题是排列组合中的重点也是难点。是许多同学看起来简单而处理问题时又很容易出错的一类题，下面我就排列组合中的分组问题，结合我个人在教学中的体会和做法，谈一些自己的看法。

关键词：分组 均匀 非均匀 有序 无序

排列组合中的分组问题有以下几类：

1、不均匀分组无序

例1. 把6个人分组成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数。

（1） 分成甲、乙、丙三组，其中甲组3人，乙组2人，丙组1人.

（2） 分成3组，其中一组3人，一组2人，一组1人.

解：本题为非均匀分组问题且与顺序无关

3（1）从6人中任选3人，为甲组有C6种选法，再从余下的3人中任选2人

13为乙组，有C32种选法，剩下1人为丙组，故共有C6*C32*C1种不同的分法。

3（2）先从6人中任选3人为一组有C6种选法，然后从剩下的3人任选2人

13为一组有C32种选法，最后剩下的一人为一组，故共有C6*C32*C1种不同的分法。

点评：由于各组人数不同，故此问题属于非平均分组问题。尽管（1）给出了甲、乙、丙3组，而（2）没有给出，

中公教育。给人改变未来的力量

2014福建公务员考试行测:巧用隔板法解排列组合问题

福建人事考试网：在公务员考试行测数量关系题目中经常能见到排列组合问题的身影，很多考生朋友可能会对排列组合望而却步，其实弄懂排列组合问题并不难，掌握一定的技巧，对于很多题目也就迎刃而解了。这里给大家简单介绍一种方法——隔板法，这对于解决排列组合问题中的同素分堆问题具有出奇制胜的效果。中公教育专家带大家先来看一道例题，了解一下什么是同素分堆。

例1：一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都相同，分给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问共有多少种分法?

A.4 B.6 C.8 D.10

例2：某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法?

A.7 B.9 C.10 D.12

还有一些题目对于分法没有要求，即不要求每个对象至少一个。类似的，我们就要想办法转化为至少一个。

例3：将7个大小形状相同的小球放进三个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，

福建中公教育祝大家考试顺利！

中公教育。给人改变未来的力量

问共有多少方法?

A.12 B.24 C.36

江苏扬州市邗江区实验学校（２２５００９） 王兴伟教学目标：１．通过观察、猜测、实验等活动，使学生找出最简单事物的排列数和组合数。２．让学生经历探索简单事物排列组合的过程，感受数学与现实生活的紧密联系，初步感悟简单的排列、组合的数学思想方法。３．培养学生有顺序、全面思考问题的意识，体验获得成功的快乐，激发学生学习数学的兴趣。教学过程：一、情境导入，渗透排列１．猜年龄师随机先猜测几个学生的年龄，然后请学生猜师的年龄，猜对有奖。２．设疑激趣师：老师为什么能猜出你们的年龄，而你们猜不出老师的年龄呢？３．引导提示师：老师的年龄是由１和４两个数字组成的两位数，想一想，老师的年龄是多少岁呢？为什么？还有其他的可能吗？二、探究方法，寻找规律１．感知排列方法（１）猜密码（出示装奖品的包，上面有个三位数密码锁）：老师将密码忘记了，谁能帮老师想办法打开这把锁？（２）师提示：老师只知道密码是１、２、８三个数字，请大家想办法将密码试出来。怎样试呢？（３）激发思考：比一比，看谁能最快写出所有的三位数。２．探讨排列方法（１）学生汇报交流，师用实物投影展示并板书。预设学生出现以下几种方法：随机写，先确定首位再写数，先确定中间数再写数，先确定末尾数再写数。（２）师生评议方法，

高二数学集体备课学案与教学设计

章节标题 选修2-3 排列组合专题 计划学时 1 学案作者 杨得生 学案审核 张爱敏 高考目标 掌握排列、组合问题的解题策略 一、知识与技能 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 三维目标 二、过程与方法 通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法 三、情感态度与价值观 通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 教学重点 重点：排列、组合综合题的解法． 教学难点难点：正确的分类、分步． 及 解决措施 教学要点 经 一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。 解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即典 指数形式， 例 有条件的为指数在上边无条件的在下边）如本题中的信有条件，即一封信只能投入一个信箱，所以，3种，3种，3种，3种。共34种。 题 练习：若A=｛a,b,

小升初计数重点考查内容———— 排列组合

1．排列组合的意义与计算方法

2．排列组合三宝：捆绑法、插空法、挡板法

(★★☆)

8月26日晚上师资组刚到蜜桃仙谷，大家都很兴奋。王雨洁、夏川、杨秀情、谷运增、崔兆玉、刘丽娜、兰海等高年级的七位老师想站在一块儿合个影，这个时候争执出现了： ⑴雨洁觉得：7个人随便站成一排，她认为这样简单公平；

⑵夏川认为：7个人可以站成两排，前3后4，这样看起来比较美观；

⑶兰海固执：自己必须站在正中间，因为自己的脑瓜长的比别人更圆一些； ⑷兆玉发言：自己和丽娜站两端，“我们俩宽度一样，这样比较对称” ⑸秀情老师：“我和阿增不站两端，其余的随便排，快点，不要磨叽！”

(★★☆)

高年级组的7位老师继续照相，这次排队有了新的讲究：雨洁、夏川、丽娜三位美女老师强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见摄像师老段拿着一根绳子嘿嘿阴笑着就走过来了：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。

(★★☆)

刚才的事儿影响了照相的进度。嘿，在这段时间里老杨和谷老师打起来了，还把谷老师的耳朵给咬了……海哥在劝架的过程由于处理不当和老杨、谷老师同时起了矛盾，3人带着情绪照相，强烈要求：互不相邻(

科技信息

高校理科研究

排列组合解题技巧的研究

曲靖师范学院数学与信息科学学院徐应仙

［摘要］排列组合问题联系实际,应用广泛,题型多变，思维抽象,不易理解。近年来,排列组合问题已逐渐成为高考的热点,于是排列组合问题的解题技巧就成了研究者们主要讨论的问题。本文就排列组合问题的解题技巧做进一步探讨。［关键词］排列组合问题解题技巧

引言

每年高考排列组合问题的实质是考察以两个基本原理——分类计数原理和分步计数原理为出发点，主要考察解题思想和解题技巧，但排列组合题型多样，解法不一，是导致考生丢分的主要原因，因而掌握好解题技巧是解决排列组合问题的关键。最常见的特殊优先法、捆绑法、插空法就不一一介绍了，可参见文献[1、2]。

一、用“总体淘汰法”巧解排列组合问题对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。

例1用0，1，2，3，4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

3

解：5个数字组成三位数的全排列有A5个，排好后发现0不能在首位，1，3不能在末尾，这两种不符合题意的排法要除去，故有30个偶数。

二、用“除法”巧解排列组合问题

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素进行排列，然后用总的排