应用泛函分析答案

§4 柯西点列和完备度量空间 教学内容(或课题)：

目的要求： 掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间. 教学过程：

? 设?xn?n?1是R1中的点列，若???0，?N?N?????，s.t.当m,n?N时，有d?xn,xm?=xn?xm??，则称?xn?n?1是R1中的柯西点列.

? Def 1 设X=(X，d)是度量空间，?xn?n?1是X中的点列. 若

????0,?N?N?????，s.t.当m,n?N时，有d?xn,xm???，则称?xn?n?1?是X中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X，d)中每个柯西点列都收敛，则称(X，d)是完备的度量空间.

有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1, 1.4, 1,41,

1.412,? 在R1中收敛于2，在有理数集中不收敛.

但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.

实因若xn?x，则???0, ?N?N?????，s.t.当m,n?N时，都有d?xn,x???2.因此当n，m?N时，有

d?xn,xm??d?xn,x?+d?x,xm???2+

?2. 所以?

第二章 度量空间

§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：

目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：

一 复习度量空间的概念

设X是个集合，若对于?x,y?X，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，且满足

10 d?x,y??0，d?x,y?=0?x?y;

20 d?x,y??d?x,z?+d?y,z?对?x,y,z??都成立， 则称(?，d)为度

量空间或距离空间，?中的元素称为点，条件20称为三点不等式. 欧氏空间Rn 对Rn中任意两点x??x1,x2,?,xn?和

?2?y??y1,y2,?,yn?，规定距离为 d?x,y?=???xi?yi??.

?i?1? C?a,b?空间 C?a,b?表闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体.对C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t??y?t?.

a?t?bn12?? l（1?p???)空间 记l=?x??xk?k?1?pp?xk?1??pk????.

?p???设x??xk?k?

第二章 度量空间

§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：

目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：

一 复习度量空间的概念

设X是个集合，若对于?x,y?X，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，且满足

10 d?x,y??0，d?x,y?=0?x?y;

20 d?x,y??d?x,z?+d?y,z?对?x,y,z??都成立， 则称(?，d)为度

量空间或距离空间，?中的元素称为点，条件20称为三点不等式. 欧氏空间Rn 对Rn中任意两点x??x1,x2,?,xn?和

?2?y??y1,y2,?,yn?，规定距离为 d?x,y?=???xi?yi??.

?i?1? C?a,b?空间 C?a,b?表闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体.对C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t??y?t?.

a?t?bn12?? l（1?p???)空间 记l=?x??xk?k?1?pp?xk?1??pk????.

?p???设x??xk?k?

泛函分析 江泽坚 版,答案,有全部答案呢,可以向我索要哦!泛函好难,答案是必须有的!

X是Banach空间，X0

是X的闭子空间，映射 :X X/X0，定义为

其中[x]表 :x [x] x X，

示含x的商类. 求证 是开映射.

证法1 用开映射定理, 只需证明 满射. 事实上,

[x] X X0,任取x [x],则有x X, x=[x].

证法2 不用开映射定理. 教材p94, 定理 2.3.8 的证明中的 (1)为了证T是开映射，必须且仅须 >0, s.t.

TB( ,1) U( , ) . 取 =1.并设

B( ,1) X中的开单位球;

1

U ,1) X X0中的开单位球.

下面证明U( ,1)= B( ,1).

x B( ,1) x<1 [x] x<1 x=[x] U( ,1) B( ,1) U( ,1)反之,

[x] U( ,1) [x]<1 x [x],使得

x<1 x B( ,1),[x]= x. U( ,1) B( ,1)

2.3.2设X,Y是Banach空间. U L(X,Y)，设方程

泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章

证明：设x,y?C，则有?x??y?C。令ek?(0,?0,1,0,?0)，?,??C，

nn第k项???????共n项第 一 节

3．设{xk}是赋范空间?中的Cauchy列，证明{xk}有界，即supxk??。

k??则对任意的x?(x1,x2,?xn)，必有x?的基，则dimC?n。

n?xekk?1nk，因此{e1,e2,?,en}是空间Cn证明：???0，?N0，当m,n?N0时，有xn?xm???xn?xm??，不妨设xn?xm，则xn???xm, m,n?N0。取m?N0，则有

当视C为实线性空间时，可令基为{e1,?,en,ie1,?,ien}，则对任意的

nxn???xN0, n?N0，令c?maxx1{,x2,?,xN0,xN0??}，则

x?(x1,x2,?xn)ndiCm?2n。

，有

x??Re(xk)ek??Img(xk)(iek)k?1k?1nn，所以

xn?c, n?1。

6．设?是Banach空间，?中的点列满足敛），证明存在x??，使x?lim证明：令yn??xk?1?k??（此时称级数?xk绝对收

k?1?

10．证明dimC[a,b]??，这里a?b。

k证明：取xk(

泛函分析习题答案

第二章 度量空间

作业题答案提示 1、

试问在R上，??x,y???x?y?2能定义度量吗？

答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有??x,y??4,而??x,z??1，??z,x??1 2、

试证明：（1）??x,y??x?y;(2)??x,y??12

x?y1?x?y在R上都定

义了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。注意到

11??x?y?x?z?z?y??x?z2?z?y2???2

故有x?y?x?z?z?y

121212 （2）仅证明三角不等式 易证函数??x?? 所

a?1?a?b??b?1?x在R?上是单调增加的， 1?x以

a?a?有

?b1?b??a?b????a?b?,

b从而有

a1ab 令?x,y,z?R,令a?z?x,b?y?z 即

2-1

y?x1?y?x?z?x1?z?x?y?z1?y?z

泛函分析习题答案

4.试证明在C?a,b?上，?(x,y)??ax(t)?y(t)dt(2.3.12)

1b定义了度量。

证：（1）?(x,y)?0?x(t)?y(t)?0（因为x,y是连续函数） ?(x,y)?0及?

泛函分析习题答案

第二章 度量空间

作业题答案提示 1、

试问在R上，??x,y???x?y?2能定义度量吗？

答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有??x,y??4,而??x,z??1，??z,x??1 2、

试证明：（1）??x,y??x?y;(2)??x,y??12

x?y1?x?y在R上都定

义了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。注意到

11??x?y?x?z?z?y??x?z2?z?y2???2

故有x?y?x?z?z?y

121212 （2）仅证明三角不等式 易证函数??x?? 所

a?1?a?b??b?1?x在R?上是单调增加的， 1?x以

a?a?有

?b1?b??a?b????a?b?,

b从而有

a1ab 令?x,y,z?R,令a?z?x,b?y?z 即

2-1

y?x1?y?x?z?x1?z?x?y?z1?y?z

泛函分析习题答案

4.试证明在C?a,b?上，?(x,y)??ax(t)?y(t)dt(2.3.12)

1b定义了度量。

证：（1）?(x,y)?0?x(t)?y(t)?0（因为x,y是连续函数） ?(x,y)?0及?

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).

证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)

也是X上的距离.

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集

{f|当t?B时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集

A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(

2012泛函分析复习资料 一、定义

1. Page1 线性空间 2. Page2 Hamel基

3. Page3 凸集，凸包coE 4. Page4 度量空间

5. Page10 范数，线性赋范空间 6. Page12 内积，内积空间 7. Page14 平行四边形公式

8. Page23 Cauchy列，完备空间，Banach空间，Hilbert空间 9. Page27 稠密，无处稠密，第一纲集，第二纲集 10. page30 线性算子，线性泛函，N（T） 11. Page31 压缩映射，不动点

12. Page34同构映射，Page35 等距同构

13. page37 紧集，相对紧集，ε网，完全有界集 二、课后习题

1解答：当p?0时，d(x,y)?x?y不满足正定性，R在d下不是度量空间， 当p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性，不满足三角不等式，故R在d下不是度量空间，

当0?p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性和三角不等式，故R在d下是度量空间，

若令x?y?d(x,y)，仅当p?1时，?满足范数的正定性，正齐次性和三角不等式，故此时R在?下是赋范空间。

2证明：

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).

证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)

也是X上的距离.

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集

{f|当t?B时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集

A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(