离心率范围的求法总结

离心率的五种求法

椭圆的离心率0 e 1，双曲线的离心率e 1，抛物线的离心率e 1． 一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e

c

来解决。 a

x2

例1：已知双曲线2 y2 1（a 0）的一条准线与抛物线y2 6x的准线重合，则该双曲线的离心

a

率为（ ）

32 B. C. D.

2223

3a2c2 132

解：抛物线y 6x的准线是x ，即双曲线的右准线x ，则2c2 3c 2 0，

2cc2

A.

解得c 2，a

，e

c2，故选D

a3

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1 1,0 、F2 3,0 ，则其离心率为（ ）

3211 B. C. D. 4324

解：由F1 1,0 、F2 3,0 知 2c 3 1，∴c 1，又∵椭圆过原点，∴a c 1，a c 3，∴a 2，

c1

c 1，所以离心率e .故选C.

a2

A.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

36

B.

离心率的五种求法

椭圆的离心率0?e?1，双曲线的离心率e?1，抛物线的离心率e?1． 一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e?c来解决。 ax2例1：已知双曲线2?y2?1（a?0）的一条准线与抛物线y2??6x的准线重合，则该双曲线的离心

a率为（ ）

33623 B. C. D.

22233a2c2?132解：抛物线y??6x的准线是x?，即双曲线的右准线x???，则2c2?3c?2?0，

2cc2A.

解得c?2，a?3，e?c23，故选D ?a3

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1?1,0?、F2?3,0?，则其离心率为（ ）

3211 B. C. D. 4324解：由F1?1,0?、F2?3,0?知 2c?3?1，∴c?1，又∵椭圆过原点，∴a?c?1，a?c?3，∴a?2，

c1c?1，所以离心率e??.故选C.

a2A.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（

水深火热的演练

一、直接求出a，c或求出a与b的比值，以求解e。

ccc2a2?b2b2在椭圆中，e?，e????1?2 22aaaaa31.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于

23.若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则椭圆的离心率为

1 21。 24.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为

x2y225.若椭圆2?2?1,(a?b?0)短轴端点为P满足PF，则椭圆的离心率为。 ?PFe?122ab12x2y236..已知??1(m?0.n?0)则当mn取得最小值时，椭圆2?2?1的的离心率为

mnmn28.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e?2。 2x2y29.P是椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点，已知?PF1F2??,?PF2F1?2?, ?F1PF2?3?,F1、F2是椭圆的左右焦点，

ab椭圆的离心率为e?3?1

??10.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若?PF， 则椭圆的F?15,?PFF?751221离心率为

6 31x2y21

高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围

高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围 求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.

一、直接根据题意建立a,c不等关系求解.

3ax2y2

例1：（08湖南）若双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大2ab

于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是

x2y2

备选（07北京）椭圆2 2 1(a b 0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别ab

为M，N，若MN F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

二、借助平面几何关系建立a,c不等关系求解

x2y2

例2：（07湖南）设F1，F2分别是椭圆2 2 1（a b 0）的左、右焦点，若在其右ab

准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

三、利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解.

x2y2

例3：（2008福建）双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，ab

且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )

x2y2

备选（04重庆）已知双曲线2 2 1,(a

椭圆、双曲线的离心率问题

丁益祥特级工作室 张留杰

教学目标

1．复习巩固椭圆、双曲线的第二定义、离心率的定义及求离心率的基本方法；

2．从数和形两方面分析椭圆、双曲线的离心率与基本量a、b、c之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力；强化数形结合思想、方程思想在解题中的应用；

3．通过对各区一模部分试题的分析，培养同学们良好的发散思维品质，增强学习解析几何的兴趣和信心，感受几何图形的美；

4．通过试题变式的训练，提高学生的解题能力，增强研究高考试题的意识，帮助学生树立“通过现象看问题的本质”这一辨证唯物主义观点． 教学重点 离心率的求法 教学难点

快捷地寻找出椭圆、双曲线的基本量之间的相等与不等关系，进而准确地求出离心率或其范围是本节的难点．

教学方法 讲授与启发相结合 教学过程

x2y2

一．回忆：（朝阳0804）已知双曲线C1:2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、

abF2，抛物线C2的顶点在原点，准线与双曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线C2的

交点P满足PF2 F1F2，则双曲线C1的离心率为 （ ） A

B

C

．

3

D

．a24a22

x； 解：由已知可得抛物线的准线为直

1、已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（ ）

A． B

． C

． D

．

2

、下面给出的四个点中，到直线内的点是（ ） A．

B

．

C

．

的焦点为，垂足为

的距离为，且位于

的直线与抛物线在

表示的平面区域

D

．且斜率为

3、抛物线交于点A．

，

，准线为，经过，则

轴上方的部分相

的面积是（ ） D

．

B

． C．

5、设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且

，则双曲线的离心率为（ ）

A．6、设

B

．为抛物线

C

．的焦点，

D．为该抛物线上三点，若

，则

（ ）

A．9 B． 6 C．4 D．3

7、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）

Ａ．

Ｂ． Ｃ．

Ｄ．或

8、设变量满足约束条件则目标函数Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14

的最大值为（ ）

9、已知满足则函数的最大值是______．

10、已知实数满足则

圆锥曲线的离心率专题练习

1．过双曲线M:x2?y2b2?1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相

交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( ) A.10 B.5 C.103 D.52 2.方程2x2?5x?2?0的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率

Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率

Ｄ．两椭圆的离心率

3.已知双曲线x2y24a2?b2?1的一条渐近线方程为y?3x，则双曲线的离心率为 （ ）

A.

5453 B.3 C.4 D.32 4. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） (A)2 (B)

22 (C) 12 (D)24

5. 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直

角三角形，则椭圆的离心率是（ ） （A）

22 （B）2?12 （C）2?2 （D

椭圆离心率的解法

椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。

一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，｜PF｜

P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=

｜PD｜②e=

｜QF｜｜AO｜｜AF｜

③e=④e=

｜BF｜｜BO｜｜BA｜｜FO｜

｜AO｜

⑤e=

D P Q A B F O

评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

a2

∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= ∴有③。（看上去没有

c关联，实际用代入法则易发现规律）

x2 y2

题目1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，

a b 若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？

A B F1 F2

思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内（即利用三角形把已知条件转化为a与c的关系，用c表示a），构造

椭圆的离心率0?e?1，双曲线的离心率e?1，抛物线的离心率e?1． 一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e?2x2例1：已知双曲线2?y2?1（a?0）,直线x?aacc来解2012年5月6日星期日决。 a与抛物线y2??6x的准线重合，则该双曲线的离

心率为（ ）

A.

33623 B. C. D.

2232

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1?1,0?、F2?3,0?，则其离心率为（ ）

A.

3211 B. C. D. 4324336 B. C. D 2

222变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

x2y2变式练习3：已知椭圆2?2?1（a?b?0），点P（-3，1）在直线

aba2上，过点P且方向为

x??ca??2,?5?的光线，经直线y??2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（

云师堂,高考数学技巧

Go the distance

【高考地位】

圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】

方法1 定义法

解题模板：第一步 根据题目条件求出a,c的值 第二步 代入公式e

c

，求出离心率e. a

例1. 若椭圆经过原点，且焦点为F1 1,0 、F2 3,0 ，则其离心率为（ ）

A.

1132

B. C. D. 4324

x2y2

【变式演练1】点P（-3，1）在椭圆2 2 1（a b 0）的左准线上，过点P且方向为 2, 5 的

ab

光线，经直线y 2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A

112

B C D 3232

方法2 方程法

解题模板：第一步 设出相关未知量；

第二步 根据题目条件