线性代数与空间解析几何知识点总结

金陵科技学院试卷

2013 /2014 学年 第1学期

共6页 第 1 页

课程所属部门： 公共基础课部 课程名称： 线性代数与空间解析几何 课程编号： 0701120117

考试方式： （A、闭）卷 使用班级： 全校 学院 公办统招 班

命 题 人： 教研室（系）主任审核： 主管领导批准：

班级： 学号： 姓名：

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 本题 得分 总分 一、 填空题（本题共11空，每空2分，共22分） 1、 设A为3阶方阵，且A?3，则3A? ， A?1? ，A*? . 2、 过点(1,2,3)且垂直于平面2x?3y?5z?7的直线方程为:

福州大学工科《线性代数与空间解析几何》试题(B)(20100221)

题号 得分 评卷人 得分 一 二 三 四 五 总成绩 一、单项选择（每小题2分，共10分）

1.向量组?1?(0,a,1),?2?(1,2,1),?3?(?1,1,0)共面，则( )。

评卷人 (A)a?1 (B)a?2 (C)a?3 (D)a?4 2．设A，B为任意两个n阶方阵，则下列等式一定成立的是（ ）。

(A)(AB)T?BTAT (B)(AB)?1?B?1A?1 (C)|A?1|?|A|?1 (D)AB?BA

?13.设三阶方阵A相似于B??????1??，I为三阶单位矩阵，则A3=（ ）。 ?1??(A) I （B）A （C）3A （D）3I

4．设A为m?n矩阵，则线性方程组Ax?0只有零解的充分必要条件为（ ）。 (A) R(A)?m (B) R(A)?n (C)|A|?0 (D)R(A)?n 5．设A为n阶正定矩阵，矩阵B与A

1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用 表示， = n ！

逆序数：对于排列

…

，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

其中： 是1,2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5. 下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式：

副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于

1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用 表示， = n ！

逆序数：对于排列

…

，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

其中： 是1,2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5. 下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式：

副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于

非数学专业大学数学

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2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A卷）

课 程线性代数与空间解析几何B考试时间2012 年 7 月 2 日

………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

3、设有向量组A： 1, 2, 3, 4，其中 1, 2, 3线性无关，则（）

(A) 1, 3线性无关； (B) 1, 2, 3, 4线性无关； (C) 1, 2, 3, 4线性相关

(D) 2, 3, 4线性相关.

4、设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为对称矩阵的是( )

(A) AB-BA；(B)AB+BA；(C)AB；(D)BA.

5、设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax=0存在非零解的充要条件是（）

(A) A的行向量组线性无关； (B) A的行向量组线性相关； (C)A的列向量组线性无关；(D) A的列向量组线性相关.

三、计算题（每小题9分，满分18分）

1

a

0b1 b 1

00c1 c

11 a00

10

一、填空题（每小题3分，满分27分）

x

习 题 一

1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：t(241356) 0 0 2 1 0 0 3.

(2) 求1至2n的全排列135 (2n 1)246 (2n)的逆序数.

解：t(13 (2n 1)24 2n) 0 0 0 (n 1) (n 2) 2 1 0 (3) 选择i与j，使由1至9的排列，91274i56j成偶排列.

解：由91274i56j是从1至9的排列，所以i,j只能取3或8.

当i 8,j 3时，t(912748563) 0 1 1 1 2 1 3 3 6 18，是偶排列. 当i 3,j 8时t(912743568) 0 1 1 1 2 3 2 2 1 13，是奇排列，不合题意舍去.

(4) 选择i与j，使由1至9的排列71i25j489成奇排列.

解：由71i25j489是从1至9的排列，所以i,j只能取3或6.

当i 3,j 6时，t(713256489) 0 1 1 2 1 1 3 0 0 9，是奇排列. 当i 6,j 3时，t(716253489) 0 1 1 2 2 3 3 0 0 12，是偶排列，不合题意舍去.

2．计算下列行列式

习 题 一

1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：t(241356) 0 0 2 1 0 0 3.

(2) 求1至2n的全排列135 (2n 1)246 (2n)的逆序数.

解：t(13 (2n 1)24 2n) 0 0 0 (n 1) (n 2) 2 1 0 (3) 选择i与j，使由1至9的排列，91274i56j成偶排列.

解：由91274i56j是从1至9的排列，所以i,j只能取3或8.

当i 8,j 3时，t(912748563) 0 1 1 1 2 1 3 3 6 18，是偶排列. 当i 3,j 8时t(912743568) 0 1 1 1 2 3 2 2 1 13，是奇排列，不合题意舍去.

(4) 选择i与j，使由1至9的排列71i25j489成奇排列.

解：由71i25j489是从1至9的排列，所以i,j只能取3或6.

当i 3,j 6时，t(713256489) 0 1 1 2 1 1 3 0 0 9，是奇排列. 当i 6,j 3时，t(716253489) 0 1 1 2 2 3 3 0 0 12，是偶排列，不合题意舍去.

2．计算下列行列式

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第4章 向量代数与空间解析几何

4.1 空间直角坐标系

4.1.1 坐标系

在空间中任意取定点O，从O引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴，点O称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z轴，当右手四指从x轴正向转向y轴正向时大拇指的指向就是

z轴的正向。

z O yx

图4.1

在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分

z III 别称为x坐标，y坐标，z坐标. II

VII VI V 图4.2

IV I o y x VIII 76

这八个卦限中坐标的对应符号为：

卦限 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ － ＋ ＋ Ⅲ － － ＋ Ⅳ ＋ － ＋ Ⅴ ＋ ＋ － Ⅵ － ＋ － Ⅶ －

线性代数知识点框架（一）

线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式