微积分下册答案

微积分（B II）总结

chapter 8 多元函数微分学

8.1 多元函数的极限

先看极限是否存在（一个方向组(y=kx)或两个方向趋近于极限点（给定方向必须当x满足极限过程时,y也满足极限过程））。如果存在，能先求的先求，能用等价无穷小替换的就替换，最后考虑夹逼准则。

8.2 偏导数

点导数定义（多用于分段函数的分界点）

fx(x,y)=limDx?0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)Dx fx(x0+Dx,y0)-fx(x0,y0)Dx

fxx(x0,y0)=lim例：求

Dx?0f(x,y)=xy,fx(0,0),就是求分段函数的点偏导数

f(x,y)在(x0,y0)连续，但偏导数不一定存在（如：锥）

8.3 全微分

函数可微，则偏导数必存在（逆否命题可证明函数不可微,证明时，把右边前两项移到左边，看它是不是r的高阶无穷小）

?z?zDz=Dx+Dy+o(r)?x?y?z?zdz=dx+dy?x?y

例：

对于某一点处的全微分，也可能要用到点导数。

8.4多元复合函数求导 8.4.1链式求导法则

z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))?z?f?u?f?v=+?x?u?x?v?x

链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导，乘

第六章 定积分

§6.1~6.2 定积分的概念、性质

一、填空题

1、设f(x)在[a,b]上连续，n等分[a,b]:a?x0?x1??xn?1?xn?b，并取小区

nb?ab?a)??间左端点xi?1，作乘积f(xi?1)?，则lim?f(xi?1n??nni?1??2baf(x)dx.

2、根据定积分的几何意义，

??20xdx?2，

?1?11?x2dx?，

??sinxdx??0.

3、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则

?baf(x)dx??f(t)dt?ab0.

二、单项选择题

1、定积分

?baf(x)dx (C) .

(A) 与f(x)无关 (B) 与区间[a,b]无关 (C) 与变量x采用的符号无关 (D) 是变量x的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) (C)

?21x2dx??x3dx (B) ?lnxdx??(lnx)2dx

111222?10xdx??ln(1?x)dx (D) ?edx??(1?x)dx

00011x13、设f(x)在[a,b]上连续，且

?baf(x)dx?0，则 (C)

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

篇一：微积分入门

校 本 课 程

论文题目：微积分初步

作 者：高红桃

日 期：2011-09-11

序

中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。

古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。

17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

1 / 23 习题8.1

1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：

(1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x

(3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ

2sin d d =+p p 解 (1) 1阶 非线性

(2) 1阶 线性

(3) 3阶 线性

(4) 1阶 线性

2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x

x y x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数)

(3) x Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数)

(4) x x e C e

C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数) (5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数)

(6) )ln(,02)(2x

高数复习

一． 求下列极限（每小题5分，共20分）

x

x 1x 1

1．lim lim

x

x x

x 1

lim 1 x

e.

e

xx 0x 1 1 x 1

sinx 2．

lim

x2

cos

1

x1x 0

x

limsinxx 0x limx 0xcosx

1 0 1.

2

1

3．

lim1 cosx

0

1 x2

x lim 1 x2

1 cosx

lim2x 0

12x2

ex 01 cosx e. 2

其中，lim

等价lim2x 0 1 cosx

x 0

2

2。

2

x

tsintdt

2

4． lim

0

xx sinx

limxsinx 0

x 01 cosx等价 limx 01 2. 22x

二．求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分） 1．

y lnx 1 x 1

，求dy.

解：

y lnx 1 x 1

ln

2x 1 x 1

ln2 lnx 1 x 1

，所以，

y

/

1

x 1 x 1

x 1

/

x 1

/

1 1x 1 x 1 2x 1 1

2x 1

1x 1 x 1x 1 x 1

x

2

11

1

2

1

2

，x

2

dy

1

2

x

2

dx. 1

2．设函数

y y x 由方程exy

ln

y

x 1

0确定，求y/ 0

微积分入门

一.微商（导数）

1.用来分析变化的工具 2.斜率=dy/dx

3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x→0)f(x)=b 4.正向接近（+∞）与负向接近（-∞）。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限

5.极限的模式：?lim(x→a)f(x) 不存在（如lim(x→a)1/x) ?lim(x→a)f(x)存在，但不 是f(a)(如lim(x→1)（x^2-3*x+2)/(x-1)) ?lim(x→a)f(x)存在，是f(a). 6.求导公式：lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h 二．导函数

1对f(x)求导得到的导函数也是函数。f ’(x)=lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h=lim(dx→0)dy/dx 2.导数表示的两种方式:A.如上 B.(莱布尼茨法）dy/dx df(x)/dx F’’(x)=(d/dx)*(d/dx)*y 3.求导基本公式：?p=C p’=0(p为常数）?(px)’=p ?{f(x)+g(x)}’=f’(x)+g’(x) 4.常用求导公式：?（x^n)’=lim(h→0)((x+h) ^n-x^

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x

《一元函数微积分》

习题1—1

1．确定下列函数的定义域： （1）y?1x2?9；

2解：要使函数有意义，则：x?9?0 即 x?3或x??3.所以函数定义域：

(??,?3)?(3,??).

（2）y?logaarcsinx；

解：要使函数有意义，则arcsinx?0，即0?x?1.所以函数定义域：(0,1]. （3）y?1?1?x2； x?12解：1?x?0且x?1?0，即?1?x?1且x??1.所以函数定义域：(-1,1].

（4）y?31?loga(2x?3)； x?233.所以函数定义域：(,2)?(2,??). 22解：x?2?0且2x?3?0，即x?2且x?（5）y?arccos解：?1?x?1?loga(4?x2)； 2x?1?1且4?x2?0，则?1?x?3且?2?x?2。所以函数定义域：[?1,2) 21（6）y?.

sin?x解：sin?x?0,则x?k,k?Z.(其中是Z整数集),函数定义域：(??,??)\\Z.

?1?sin,x?0?2?2.求函数y??的定义域和值域,并求f??和f(0). x????x?0?0解:定义域:(??,??). 当x?0时,

11?(??,??)\\{0},故?1?sin?1. 所以值域