离散数学教程王元元课后答案

第十一章 群、环、域

11.1 半群

内容提要

11.1.1 半群及独异点

定义 11.1 称代数结构为半群（semigroups），如果 ? 运算满足结合律．当半群含有关于 ? 运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．

定理11.1 设为一半群,那么

（1）的任一子代数都是半群，称为的子半群．

（2）若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点．

定理11.2 设,是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有

（1）同态象为一半群．

（2）当为独异点时，则为一独异点.

定理11.3 设为一半群,那麽

SS

（1）为一半群，这里S为S上所有一元函数的集合，○ 为函数的合成运算．

S

（2）存在S到S的半群同态．

11.1.2 自由独异点

定义 11.2 称独异点为自由独异点（free monoid）,如果有A?S使得 （1）e?A．

（2）对任意u?S，x?A,u?x ? e . 自由独异点（free monoid）,如果有A?S使得 （3）对任意u,v?S，x,y?A,若u?x = v?y,那么u = v,x = y．

（4） S由A

第九章 特 殊 图

9.1 二分图

内容提要

9.1.1 二分图的基本概念

定义9.1 无向图G = 称为二分图（bipartite graph），如果有非空集合X，Y使X∪Y = V，X∩Y = ?，且对每一e?E，?(e) = (x, y)，x?X，y?Y。此时常用表示二分图G。若对X中任一x及Y中任一y恰有一边e?E，使?(e) = (x, y), 则称G为完全二分图（complete bipartite graph）。当?X? = m，?Y? = n时，完全二分图G记为Km,n。

定理9.1 无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。

9.1.2 匹配

定义9.2 设G = 为二分图，M?E。称M为G的一个匹配（matching），如果M中任何两条边都没有公共端点。G的所有匹配中边数最多的匹配称为最大匹配（maximal matching）。如果X(Y)中任一顶点均为匹配M中边的端点，那么称M为X(Y)-完全匹配(perfect matching)。若M既是X-完全匹配又是Y-完全匹配，则称M为G的完全匹配。 定

第四篇 抽象代数

第十章 代数结构通论

10.1 代数结构 内容提要

10.1.1代数结构的意义

定义10.1 称 为集合S上的n元运算（operaters），如果 为Sn到S的一个函数。以下 常用以表示二元运算, ?(x,y)常记为x?y；?常用以表示一元运算。对二元运算，’: 称 运算满足结合律，若 xyz(x,y,z?S→x? (y? z) = (x?y) ?z) 称 运算满足交换律，若 xy(x,y?S→x?y= y?x) 称 运算对 ’ 运算满足分配律，若 xyz(x,y,z?S→x?(y?’z) = (x?y) ?’ (x?z))

定义10.2 代数结构（algebra structures）是由以下三个部分组成的数学结构： （1）非空集合S，称为代数结构的载体。 （2）载体S上的若干运算。

（3）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 代数结构常用一个多元序组来表示，其中 S是载体，?，，…为各种运算。有时为了强调S有某些元素地位

习题3.7

1. 列出关系{?a，b，c，d?|a，b，c，d?Z且a?b?c?d?6}中所有有序4元解 {?a，b，c，d?|a，b，c，d?Z且a?b?c?d?6}

??组。

?{?1,1,1,6?,?1,1,6,1?,?1,6,1,1?,?6,1,1,1?,?1,1,2,3?,?1,1,3,2?,?1,2,1,3?,?1,3,1,2?,

?1,2,3,1?,?1,3,2,1?,?2,3,1,1?,?3,2,1,1?,?2,1,3,1?,?3,1,2,1?,?2,1,1,3?,?3,1,1,2?

2. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。

表3.18 航班信息

航空公司 Nadir Acme Acme Acme Nadir Acme Nadir

解 略

3. 当施用投影运算?2,3,5到有序5元组?a，b，c，d?时你能得到什么？

解 略

4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？

解 略

5. 给出分别施用投影运算?1,2,4和选择运算?航空公司＝Nadir到二维表3.18以后得到的表。 解 对航班信息二维表进行投影运算?2,3,5

§1.1 命题和逻辑连接词

习题1.1

1. 下列哪些语句是命题，在是命题的语句中，哪些是真命题，哪些是假命题，哪些命题的真值现在还不知道？

（1）中国有四大发明。

（2）你喜欢计算机吗？ （3）地球上海洋的面积比陆地的面积大。 （4）请回答这个问题！ （5）632=+。

（6）107<+x 。 （7）园的面积等于半径的平方乘以圆周率。 （8）只有6是偶数，3才能是2的倍数。

（9）若y x =，则z y z x +=+。

（10）外星人是不存在的。 （11）2020年元旦下大雪。

（12）如果311=+，则血就不是红的。 解 是真命题的有：（1）、（3）、(7)、 (9) 、（12） ；是假命题的有：（5）、 (8) ；是命题但真值现在不知道的有： (10)、 (11)；不是命题的有：（2）、（4）、（6）。

2. 令p 、q 为如下简单命题：p ：气温在零度以下。q ：正在下雪。用p 、q 和逻辑联接词符号化下列复合命题。

（1）气温在零度以下且正在下雪。

（2）气温在零度以下，但不在下雪。

（3）气温不在零度以下，也不在下雪。

（4）也许在下雪，也许气温在零度以下，也许既下雪气温又在零度以下。

（5）若气温在零度以下，那一定在下雪。

（6）也许气温在零度以下，也许在下雪，但如果气温在零度以上就不下雪。 （7）气温在零度以下是下雪的充分必要条件。

解 （1

第一章 命题演算基础

1.1 判断下列语句是否为命题，若是请翻译为符号公式；若不是说明由。

（1）请给我一支笔！ （2）火星上有生物。 （3）X?Y?8

（4）只有努力工作，方能把事情做好。

（5）如果嫦娥是虚构的，而圣诞老人也是虚构的，那么许多孩子受骗了。 解

（1）不为命题，因为它不是陈述句。

（2）是命题，用命题变元P表示该命题。

（3）不为命题，虽为陈述句，但不能判断其真假性。

（4）是命题。设P表示努力工作，则原句翻译为命题公式Q?P。 Q表示把事情做好，（5）是命题。设P表示嫦娥是虚构的，Q表示圣诞老人也是虚构的，R表示许多孩子受骗了，则原句翻译为(P?Q)?R。 1.2 试判定下列公式的永真性和可满足性。

（1）(P?Q)?(?P??(Q??R)) 解

（1）当P?T时，

原式=(T?Q)?(?T??(Q??R)) =Q?(F??(Q??R))

=Q?F =?Q

当Q=T时，上式=F；当Q?F时，上式=T，因此公式存在成真解释

(P,Q,R)?(T,F,?)，存在成假解释(P,Q,R)?(T,T,?)，故公式可满足，但非永真。

（2）?(P?Q)?((Q??R)??P) 解

当P?T时

原式=?(T?Q)?((Q?

2006年下半年《离散数学》（闭卷）70学时

离散数学（A卷）

闭卷、70学时

一、 填空选择题 (每空1分，共26分)

1、给定命题公式如下：p?(q??r)。该公式的成真赋值为A,成假赋值为B,公式的类型为C。

供选择的答案

A：①无；②全体赋值；

③010，100，101，111；④010，100，101，110，111。

B：①无；②全体赋值；③000，001，011；④000，010，110。 C：①重言式；②矛盾式；③可满足式。

（?x)(P(y)?Q(x,y))?(?y)R(x,y)中，?x的辖域是 P(z)→Q(x,z) ， 2、在公式

?y的辖域是 R(x,z) 。

3、设Z+={x∣x∈Z∧X>0},π1, π2,π3是Z+的3个划分。

π1={{x}∣x∈Z+},π2={S1,S2},S1为素数集,S2=Z+-S1.π3＝{Z+}, (1)3个划分块中最多的是A,最少的是B. +++

(2)划分π1对应的是Z上的C,π2对应的是Z上的D,π3对应的是Z上的E. 供选择的答案

A:( ①),B:( ③ ) ①π1, ②π2,③π3. C:( ⑧)

离散数学习题解 1

习题一

1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略

1.10． 略 1.11． 略 1.12． 将下列 命题符号化, 并给出各命题的 真值:

(1)2+2＝4 当且仅当 3+3＝6. (2)2+2＝4 的充要条件是 3+3?6. (3)2+2?4 与 3+3＝6 互为充要条件. (4)若 2+2?4, 则 3+3?6, 反之亦然.

(1)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1. (2)p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 0. (3) ?p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 0. (4) ?p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1.

1.13． 将下列命题符号化, 并给出各命题的真值: (1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三.

令 p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三. (1) p?q ?

离散数学习题解 1

习题一

1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略

1.10． 略 1.11． 略 1.12． 将下列 命题符号化, 并给出各命题的 真值:

(1)2+2＝4 当且仅当 3+3＝6. (2)2+2＝4 的充要条件是 3+3?6. (3)2+2?4 与 3+3＝6 互为充要条件. (4)若 2+2?4, 则 3+3?6, 反之亦然.

(1)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1. (2)p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 0. (3) ?p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 0. (4) ?p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1.

1.13． 将下列命题符号化, 并给出各命题的真值: (1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三.

令 p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三. (1) p?q ?

第二章 命题逻辑

§2.2 主要解题方法

2.2.1 证明命题公式恒真或恒假

主要有如下方法：

方法一. 真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每

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一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。

真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。

例2.2.1 说明 G= (P?Q?R)?(P?Q)?(P?R)是恒真、恒假还是可满足。

解：该公式的真值表如下：

P Q R P?QP?(P?QP?R G ?R Q ?R)?(P?Q) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 表2.2.1

由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故

19

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G恒真。

方法二. 以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。

例2.2.2