行列式的答案唯一吗

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式

一．选择题

121．若行列式153?2 = 0，则x? [ C ] 25x（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3

?x1?2x2?32．线性方程组?，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

3x?7x?42?1（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶行列式

厦门理工

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶行列式的定义

一．选择题

121．若行列式15x3??2 = 0，则x? [ C ]

25（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3

??x1?2x2?32．线性方程组?，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

3x?7x?4?2?1（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶

第一章 行列式试题及答案

一 选择题 (每小题3分，共30分)

⑴ n元排列 i1 i2… in经过相邻对换，变为in … i2 i1，则相邻对换的次数为( )

(A) n (B) n/2 (C) 2n

(D) n(n-1)/2

2x1?1⑵ 在函数f?x???2x?x4x中，x3的系数是( )

12x (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4

⑶ 若Dn=det(aij)=1，则det(－aij) = ( )

(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n

(D) (-1)

n(n-1)/2

?1?1⑷ 设

?2???2?，则n不可取下面的值是( )

?n?n(A)7 (B) 2k

+1(k2) (C) 2k

(k

2) (D) 17

⑸ 下列行列式等于零的是( )

3210030?103?16(A)?321 (B) 0?10 (C) 300 (D) 224

001130001162⑹ 行列式D非零的充分条件是( ) (A) D的所有元素非零 (B) D至少有n个元素非零 (C) D的任何两行元素不成比例

(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组

行列式的计算方法

摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法

行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则

对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法

根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式

浅谈求行列式的方法

【摘要】

行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文归纳行列式的各种计算方法，通过这一方法可以提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。 【关键词】

行列式，范德蒙行列式，数学归纳法，递推法。 引言

行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。本文主要探讨行列式的计算方法以及它的简单应用。而行列式的计算方法并不是唯一的，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，给出了计算行列式的常用方法。

1．定义法：

根据行列式的定义，直接求其值。

a000cd 例： 计算D=

0efg00b0 0h分析：根据定义，D是一个4！=24项的代数和，而每一项是取自不同的行不同的列。因而，在这个行列式里，除了acfh，adeh，bdeg，bcfg，与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。其

行列式的计算探讨

作者：肖琨

(井冈山学院数理学院,吉安，江西，343009)

指导老师：朱景文

[摘要] 归纳行列式的各种计算方法,并举例说明了它们的应用,同时对若干特殊的例子进行推广. [关键词] 行列式，拉普拉斯定理展开式，计算方法

一 前言

无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题都或多或少的与行列式有着直接或间接联系.如：

（1）线形方程组

?a11x11?a12x2?a13x3???a1nxn?b1??a21x1?a22x2?a23x3???a2nxn?b2? ???ax?ax?ax???ax?bn22n33nnxn?n11

是否有解,解的形式是什么样的?

23(2) 现测得,某一地区水银密度h与温度t的关系为：h=a0?a1t?a2t?a3t，并由实验测

定以下数据，

t 0 10 20 30 h 13.60 13.57 13.35 13.32

现预测：t=15，40时水银密度该怎样预测.

（3）自然生态中，要预知一个物种的存活期，繁衍期，该怎样预测呢？

当然，除了以上问

IP

59.77.1.116;

§1.2-§1.4

(

10);

Cramer1

|A|=a11a22···ann(

|A| a11 0|A|= ···

0

n

a12a22···0

············aii

a1n a2n ··· ann

|A|

a11 a21

|A|= ···

an1

0a22···an2············

).

0 0 ··· ann

(1)|A|

n=1

|A|=a11

n 1

n

|A|.

|A|=a11M11.

M11

n 1

M11=a22a33···ann,

计算行列式的若干方法

摘要：行列式是数学分支中一个非常重要的内容，其应用范围非常广泛，而应用行列式理论的前提就是能熟练地掌握行列式的计算方法，这也是整个代数分支的重点和难点。计算行列式有许多种方法，但是往往可以根据所求行列式的特征来选取不同的计算方法，从而提高解题效率。本文列举了一些计算行列式的方法包括定义法、对角线法、化成三角形行列式法、补行列法、降阶法、析因子法、数学软件法，并对不同的计算方法适用于什么情形进行简单总结。

关键词：行列式 定义法 升降阶法 析因子法

Several methods for calculating determinant

Abstract: The determinant in mathematics branch is a very important content. Its application scope is

widespread, but the premise of application determinant theory can grasp the computational method of the determinant skilled. This is also the key

§1.1全排列及逆序数

1、二阶与三阶行列式

由二元线性方程组引入二阶行列式

b1a22?b2a12?x?1??a11x1?a12x2?b1?a11a22?a12a21 利用消元法解得? ?ba?baax?ax?b211121?2112222?x2??a11a22?a12a21?x1,x2的分母记作

b1b2a11a11a21a12a22?a11a22?a12a21 （1）称为线性方程组的系数行列式D

x1的分子记作

a12a22b1?b1a22?a12b2=D1

x2的分子记作

a21b2?a11b2?a21b1?D2

D1?x??1D若系数行列式D?0，则二元线性方程组有唯一解?

D2?x2??D?a11x1?a12x2?a13x3?b1?同样的，对于三元线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?b2，当系数行列式D?0时有唯

?ax?ax?ax?b3223333?311D1?x?1?D?D?x2?2一解?D， 系数行列式

?D3x??3D??a11aaa12aaa13D?a212223?aaa?aaa?aaa?aaa?aaa?aaa

112233122331132132112332122133132231a313233D1,D2,