空间几何线面平行的证明方法
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线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容,必有一个证明题;重点考察:平行与垂直(线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等),我们现在对线面平行这一方面作如下探讨:
方法一:中位线型:找平行线。
例1、如图⑴,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中,点E是PD的中点.求证:PB//平面AEC
方法二:构造平行四边形,找平行线
AE//平面DCF.
分析:过点E作EG//AD交FC于G, DG就是平面AEGD
与平面DCF的交线,那么只要证明AE//DG即可。
例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交,BE//CF,求证:
方法三:作辅助面使两个平面是平行, 即:作平行平面,使得过所证直线作与已
知平面平行的平面
例3、如图⑷,在四棱锥O ABCD中,底面ABCD为菱形, M为OA的中点,N为BC的中点,证明:直线MN‖平面OCD
分析::取OB中点E,连接ME,NE,只需证平面MEN平面OCD。 方法四:利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD和正方形ABEFAC和BF上,且AM=FN. 求证:MN‖平面BCE.
如图⑷
线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容,必有一个证明题;重点考察:平行与垂直(线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等),我们现在对线面平行这一方面作如下探讨:
方法一:中位线型:找平行线。
例1、如图⑴,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中,点E是PD的中点.求证:PB//平面AEC
方法二:构造平行四边形,找平行线
AE//平面DCF.
分析:过点E作EG//AD交FC于G, DG就是平面AEGD
与平面DCF的交线,那么只要证明AE//DG即可。
例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交,BE//CF,求证:
方法三:作辅助面使两个平面是平行, 即:作平行平面,使得过所证直线作与已
知平面平行的平面
例3、如图⑷,在四棱锥O ABCD中,底面ABCD为菱形, M为OA的中点,N为BC的中点,证明:直线MN‖平面OCD
分析::取OB中点E,连接ME,NE,只需证平面MEN平面OCD。 方法四:利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD和正方形ABEFAC和BF上,且AM=FN. 求证:MN‖平面BCE.
如图⑷
空间几何平行与垂直证明 - 图文
空间几何平行与垂直证明 线面平行
方法一:中点模型法
例:1.已知在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形, E为PC的中点. 求证:PA//平面BDE P D A
练习:
1.三棱锥P_ABC中,PA?AB?AC,?BAC?120?,PA?平面ABC, 点E、F 分别为线段PC、BC的中点,
(1)判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由; (2)求直线PF与平面PAC所成角的正弦值。 B
ECBPEAFC2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD.DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD.
(1)证明:PA∥平面BDE; (2)证明:AC⊥平面PBD.
3.已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为
A AB,BC,CD,DA的中点.
求证:AC//平面EFG. HE
DG
B FC
4.已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. 求证:EF //平面BGH. A
H E
D G BF
方法二:平行四边形法
例:1.已知在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,E为P
空间几何—平行垂直证明(高一)
空间几何平行垂直证明专题训练
? 知识点讲解
一、“平行关系”常见证明方法 (一)直线与直线平行的证明
1) 利用某些平面图形的特性:如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质
3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b
平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
a∥?a??β
a b
?a∥bα
????b5)利用平面与平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
6)利用直线与平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
a?? b???a∥b7)利用平面内直线与直线垂直的性质:
a?//???????a??a//b????b??b?在同一个平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8)利用定义:在同一个平面内且两条直线没有公共点
(二)直线与平面平行的证明
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1) 利用直线与平
人教版立体几何线面平行
第1题. 已知 a, m, b,且m// ,求证:a//b.
答案:证明:
答案:证明:连结AF并延长交BC于M.连结PM,
m
m// m//a a//b.
a 同理 m//b
BFMFPEBFPEMF
,又由已知,∴.
FDFAEAFDEAFA
由平面几何知识可得EF//PM,又EF PBC,PM 平面PBC, ∴EF//平面PBC.
∵AD//BC,∴
第4题. 如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,E1F1是平面A1C1上的线段,求证:E1F1//平面AC.
答案:证明:如图,分别在AB和上截取AE A1E1,DF D1F1,连接EE1,FF1,EF.
第2题. 已知: b,a// ,a// ,则a与b的位置关系是(
A.a//b B.a b C.a,b相交但不垂直 D.a,b异面
答案:A.
第3题. 如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且
∴A1E1平行且等于AE,D1F1平行且等于DF,
故四边形AEE1A1,DFF1D1为平行四边形.
∴EE1平行且等于AA1,FF1平行且等于DD1. ∵AA1平行且等于DD1,∴EE1平行且等于FF1,
四边形
几何证明的基本方法
几何证明的基本方法
一.割补法:
1.(全等)如图,点E是BC中点, BAE CDE,求证:AB CD
(相似)如图,点E是BC上一点,BE k EC, BAE CDE,猜想AB、CD的数量关系.
2. (全等)如图,在 ABC中, BAC 90 ,AB AC,CD//BA,点P
是BC上一点,连结AP,过点P做PE AP交CD于E.
探究PE与PA的数量关系.
相似)如图,在 ABC中, BAC 90 ,AB k AC,CD//BA,点P是BC上一点,连结AP,过点P做PE AP交CD于E.
探究PE与PA的数量关系.
--1--
3. (全等)如图,在 ABC中,AB AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,且BD CE,DE交BC于点P.
探究PE与PD的数量关系.
(相似)如图,在 ABC中,AB k AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,且BD CE,DE交BC于点P.
探究PE与PD的数量关系.
4. (全等)如图,在 ABC中, DBC ECB
探究BE与CD的数量关系.
1 A,BD、CE交于点P. 2
(相似)如图,在 ABC中, DBC ECB A,BD、CE交于点P,PB k PC.
探究BE与CD的数量关系.
5.(全等)如图,在 EBC
空间几何中的向量方法
第一讲:空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量
一、空间向量的坐标运算
??1. 若a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3),则
(1)a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3); (2)a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3); (3)?a?(?a1,?a2,?a3),??R; (4)a?b?a1b1?a2b2?a3b3; (5)a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3,(b?0,??R); (6)a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0; (7)a?(8)cos?a,b??22a?a?a12?a2?a3;
a1b1?a2b2?a3b3a?b. ?222222a?ba1?a2?a3?b1?b2?b3?????????例1 已知a?(2,?3,5),b?(?3,1,?4),求a?b,a?b,8a,a?b,的坐标.
????2.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)
练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M、N分别是AB,PC的中点,且PA=AD=1,
?????求向量MN的坐标.
二、空间直角坐标系中平面
线面平行与面面平行(教案)
线面平行与面面平行(教案)
§50. 线面平行与面面平行(教案)
一、复习目标
1、掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理、性质定理,并能运用这些知识进行论证或解题.
2、理解线线平行,线面平行,面面平行之间的关系,能进行三者之间的转化.
二、课前预习
1、若直线l∥平面 ,则下列命题中,正确的是( )
A、l平行于 内的所有直线 B、l平行于过l的平面与 的交线
C、l平行于 内的任意直线 D、l平行于 内的唯一确定的直线 解:B
2、 、 表示平面,a、b表示直线,则a∥ 的充分条件是( )
A、 ⊥ ,且a⊥ B、 ∩ =b,且a∥b C、a∥b,且b∥ D、 ∥ ,且a 解:D
3、已知a、b为异面直线,且a⊥ ,b⊥ ,则平面 与平面 的位置关系是
A、 ∥ B、 与 相交 C、 与 重合 D、 与 关系不确定 解:B
4、已知直线a、b,平面α、β、γ,有下面四个命题
①若a⊥α,a⊥β,则α∥β.②若a∥α,b∥β,a∥β,a∥b,则α∥β. ③若α∥γ,β∥γ,则α∥β④若α∩γ=a.β∩γ=b且a∥b,则α∥β. 其中正确的命题是 ( )
A、①与② B、①与
线面平行的常用判断法
线面平行的常用判断法
空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容,也是高考考查的重点,下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下:
一、反证法
例1求证:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.(直线与平面平行的判定定理)
已知:a??,b??,a∥b,如图1. 求证:a∥?.
分析:要证明直线与平面平行,可以从直线与平面平行的定义入手,但从定义来看,必须说明直线与平面无公共点,这一点直接说明是困难的,但我们可以借助反正法来证明.
证明:假设直线a与平面?不平行,又∵a??,∴a下面只要说明a??A.
a
??A不可能即可.
∵a∥b,∴a,b可确定一平面,设为?. 又a??A, ∴A?a,A??.
b
A
?
图1
又b??,A??,
∴平面?与平面?中含有相同的元素直线b,以及不在直线b上的点A, 由公理2的推论知,平面?与平面?重合. ∴a??,这与已知a??相矛盾. ∴a二、判定定理法
例2 正方体AC1中,E、G分别为BC、C1D1的中点,求证:EG∥平面B1BDD1 分析:要证明EG∥平面B1BDD1,根据线面平行的判定定理,需在平面B1BDD1内找到一条与EG平行的直线,充分借助E、G为中点的
线面平行与面面平行(教案)
线面平行与面面平行(教案)
§50. 线面平行与面面平行(教案)
一、复习目标
1、掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理、性质定理,并能运用这些知识进行论证或解题.
2、理解线线平行,线面平行,面面平行之间的关系,能进行三者之间的转化.
二、课前预习
1、若直线l∥平面 ,则下列命题中,正确的是( )
A、l平行于 内的所有直线 B、l平行于过l的平面与 的交线
C、l平行于 内的任意直线 D、l平行于 内的唯一确定的直线 解:B
2、 、 表示平面,a、b表示直线,则a∥ 的充分条件是( )
A、 ⊥ ,且a⊥ B、 ∩ =b,且a∥b C、a∥b,且b∥ D、 ∥ ,且a 解:D
3、已知a、b为异面直线,且a⊥ ,b⊥ ,则平面 与平面 的位置关系是
A、 ∥ B、 与 相交 C、 与 重合 D、 与 关系不确定 解:B
4、已知直线a、b,平面α、β、γ,有下面四个命题
①若a⊥α,a⊥β,则α∥β.②若a∥α,b∥β,a∥β,a∥b,则α∥β. ③若α∥γ,β∥γ,则α∥β④若α∩γ=a.β∩γ=b且a∥b,则α∥β. 其中正确的命题是 ( )
A、①与② B、①与