二次战役东线

精品专题课程 · 初中数学

第十讲 二次根式

一、二次根式考点

考点： 1、二次根式的相关概念； 2、最简二次根式； 3、化简二次根式； 4、利用二次的性质进行运算； 5、求代数式的值； 6、比较二次根式的大小； 7、二次根式的开放性问题； 8、二次根式的应用。 二、知识梳理/提炼

1.二次根式的定义：式子 叫做二次根式. 2.二次根式的性质 （1）

、?a?＝a（a≥0）

2a2＝a，

（2）ab＝a·b（a≥0，b≥0），aa＝（a≥0，b＞0）. bb3.最简二次根式：符合条件（1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式，（?2）被开方式中不含有分母，符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式.

4.分母有理化

（1）互为有理化因式：?两个带有二次根式的代数式相乘不再含有二次根式，则这两个代数式叫做互为有理化因式，常见的有理化因式有：a与±a，a+b与a－b，a+b与a－b，ma+nb与ma－nb；

（2）分母有理化：把分母中的根号化去过程，叫做分母有理化，?方法是在分子分母上同乘以分母的有理化因式.

5.二次根式的运算：（1）加减运算：化成同类

第六章 二 次 型

I 重要知识点

一、二次型及其矩阵表示

1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1nx1xn

+a22x22+ … +a2nx2xn + … (3) +annxn2

称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。

2、二次型的矩阵表示 设n阶对称矩阵

?a11?a12A=?????a?1na12a22?a2n?a1n???a2n? ?????ann??则n元二次型可表示为下列矩阵形式：

?a11?a12f(x1，x2，…，xn)=( x1，x2，…，xn) ?????a?1na12a22?a2n?a1n??x1?????a2n??x2?T

=XAX

????????????ann???xn?其中 X=( x1，x2，…，xn)T。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简

学术论坛

ＳＣ畦ＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ

区间上的二次函数～●－次方程和＝次不等式

高立群邵亚茹

（陕西省富平县立诚中学

７１１７１

１）

摘要：本文着重讨论在指定区间内二次函数的最值问题，二次方程根的分布问题，二次不等式的判解问题的一些结论及其应用。关键词：区间二次函数二次方程二次不等式中图分类号：Ｇ６３３．６２文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—３７９ｌ（２００７）１２（ａ）一０２０７—０２二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都转化为二次函数来处理，二次函数、一元二次方程、二次不等式，它们之间相互联系，互为工具，而在指定区间内研究其局部性质是三者深化的主要内容，并且随着各类考试、竞赛的深入不断深化。

例２：设ｆ（ｘ）是定义在区间（一＊，十＊）上的以２为周期的函数，对ｋ∈ｚ用Ｉｋ表示区间（２ｋ一１，２ｋ＋１），已知ｘ∈Ｉ．时，ｆ（ｘ）＝ｘ２。

Ｉ、求ｆ（ｘ）在Ｉｋ上的解析式Ⅱ、对自然数ｋ求集合Ｍｋ＝｛ｏ【｝使方程ｆ（ｘ）＝ａｘ在Ｉｋ上有两个不相等的实数根｝

解：

髂ｍ忙：墨学

ｆ（ｘ）＞Ｏ在【ｍ，ｎ］上有解Ｃ＞ｆ（ｍ）＞Ｏ或ｆ

（ｎ）＞０

１二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ‘＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠Ｏ）在【ｍ，ｎＪ内的最值。ａ＞０时

例３：１９９９年高中联赛一试（三）

题目：已知当ｘ∈

《二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与字

母系数a、b、c的关系》

说 课 稿

一.教学背景分析： （一）教材分析

本节课的教学内容是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与字母系数a、b、c的关系， 是二次函数图像和性质及一元二次方程与函数的综合性应用，是二次函数教学中的重点、难点之一，它是集图像、符号、文字为一体的问题。同时也是近年来中考命题的热点，在中考试卷中通常以选择题（3分）或填空题（4分）的方式呈现。因为所占的分值少，加之需要学生有良好的学习基础，所以教学中未能引起教师和学生的足够重视。学生在识图的过程中往往容易忽略特殊点、对称轴问题，不去归纳和总结解决这类问题的模型，所以其中一个选择支的误判，就会增加失分，而且影响学生对后面二次函数综合性问题解决的能力的提升。因此通过这一教学内容做专题性的研讨，尝试寻求建立解决这一问题的模型，优化解决问题的方法。从而提高学生分析和解决问题的能力。 （二）学情分析：

学生已经学习了二次函数图像及性质等相关内容，具有一定的知识储备，能运用图像和性质对简单的问题进行分析和解答，但部分学生的计算能力、推理能力较弱，对这类问题的数形结合思想、特殊点函数值的利用、式子的变形技巧等，不能结

新都华城1#、3#二次结构班组协议书

根据施工需要，甲方将工程主体部分的二次结构的施工任务交由乙方施工，1#、3#、楼同时施工，加强内部管理，经双方协商签订以下协议：

一工程名称：新都华城一期工程：二、工程地点：信阳羊山新区、信阳市二十五大街与第五大街交接处三、具体施工内容：二次结构工作人员进场后、所进行的工序包括砌墙、植筋、內粉、外粉、外墙瓷砖、屋面瓦、屋顶保温层等所有的构造柱支模板、扎钢筋、打灰及散水、每层每一个工序完工后要做到工完料净，且不浪费甲方的所有材料，否则如实赔偿。在交工之时由乙方负责所有楼层内的卫生清理干净。四、承包建筑面积按照图纸实际建筑面积据实计算，其中协屋面面积按建筑面积半层计算。建筑面积每平方 计算费用、砌墙（包括植筋）按建筑面积每平方 计算、內粉按建筑面积每平方 计算，外粉按建筑面积的每平方 计算，批顶按建筑面积每平方 计算、瓷砖按按建筑面积每平方 计算电梯走道的皮白包按建筑面积每平方 计算（除外墙漆、外墙保温外其它所有的二期的过程都是乙方的施工范围）过程开工之前乙方自备搅拌机、震动棒、振动机、斗车和小型手动工具、及施工有

二次函数应用

1.（2012?聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 2.（2010?武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利

二次函数

【教学目标】

1．了解二次函数的意义，会用待定系数法求二次函数的解析式．

2．会用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，并运用二次函数的性质解决相关问题．

3．了解二次函数与一元二次方程的关系，进一步体会数形结合、转化等思想方法．

【教学重难点】

二次函数的图象和性质的应用．

【教学过程】

一、基础训练

1．二次函数y ax2 bx c（a 0）图象如图所示．

（1）你能根据图中的信息得出哪些结论？

（2）若抛物线与x轴交点的横坐标为-1和5，则该抛物线的对称轴为 ，方程ax2 bx c 0的根为；

（3）若抛物线的顶点坐标为（2，9），则方程ax bx c m有实数根的条件是 ；

（4）在（2）的条件下，若抛物线与y轴交于点（0，5），请求出该二次函数解析式．

2

二、合作交流

1．二次函数y ax2 bx c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a b＝

220；③当m≠1时，a b＞am2 bm；④a b c＞0；⑤若ax1 bx1＝ax2 bx2，且x1

≠x2，则x1 x2＝2．其中正确的有（ ）．

A．①②③

C．②⑤ B．②④ D．②③⑤

2．若抛物线y mx (m 2)x 1m

浙江版数学八年级下教案——第一章《二次根式》

§1.1二次根式

教学目标：

1、经历二次根式概念的发生过程； 2、了解二次根式的概念；

3、理解二次根式何时有意义，无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围； 4、会求二次根式的值。

重点与难点：本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第（2），（3）题学生不容易理解，是本节教学的难点。

教学设想：课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式，在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图，按教材的步骤进行教学，让学生在自主学习的基础上，发现教材中的学习重点，概括学习所得，提升学生的学习能力。 教学过程：

一、引入（合作学习）：

根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：

直角三角形的斜边长是____________； 正方形的边长是____________； 等边三角形的边长是_________。

首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表

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杨嘉敏 同学个性化教学设计

年级： 初二 教师： 丁诗雅 科目： 数学

班主任： 王卫卫 日期： 时段： 课题 二次根式 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a≥0时，个性质进行一些简单的计算与化简。 理解公式（a）=a（a≥0）, a?a，并能利用公式进行二次根式的化简 2教学目标 ?a?= a；能运用这22 重难点透析 二次根式的概念、基本性质以及二次根式的混合运算 知识点剖析 序号 1 2 3 知识点梳理 典型例题讲解 随堂练习巩固所学知识

课堂反馈： ○非常满意 ○满意 ○一般 ○差 学生签字： 主任签字： 日 期：

追 求 卓 越 崇 尚 完 美

知识点

§3.3 二次函数

A组 2015年全国中考题组

一、选择题

1．(2015·山东泰安，19，3分)某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：

x y … … －2 －11 －1 －2 0 1 1 －2 2 －5 … … ( )

由于粗心，他算错了一个y值，则这个错误的数值是 A．－11

B．－2

C．1

D．－5

解析 由表格知二次函数的对称轴为x＝0，且过点(0，1)，(1，－2)，∴b?－2a＝0，

?a＝－3，?

解得?b＝0，∴二次函数解析式为y＝－3x2＋1.当x＝2时，?c＝1，

??a＋b＋c＝－2.?c＝1.y＝－3×22＋1＝－11，故选D. 答案 D

2．(2015·四川巴中，10，3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc<0 ②2a＋b＝0 ③a－b＋c>0 ④4a－2b＋c

B．只有①

( ) C．③④

D．①④

b

解析 由图象可知：a>0，b>0，c<0所以abc<0；故①正确；对称轴－2a＝－1，可得b＝2a，故②错误；当x＝－1时，a－b＋c<0，故③错误；当x＝－2时，4a－2b＋c<0，故④正确． 答案 D

3．(2015·四川泸州，9，3分)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x＝－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是( )

A．x<－4或x>2