乐乐课堂最大公因数和最小公倍数奥数

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数

教室 姓名 学号

【知识要点】

1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。 3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质： （1）（a，b）×［a，b］=a×b；

（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。 （3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。 【典型例题】

例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.

例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？

解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。（90，42）=6.至少能剪90×42÷（

最大公因数与最小公倍数

例1. 五年级三个班分别有30人，24人，42人参加课外活动，

现在要把参加的人分成人数相等的小组，且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？此时一共可以分成几组？

练习; 1. 求（180 840 150）

2.有336个苹果，252个梨，210个桔子，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三中水果各有几个？

例2.有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少？ 练习；1.求56,36,284的最小公倍数。

2.三个人绕环形跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟、45秒钟和一分15秒。三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？

例3.两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？

练习；1.某数与24的最大公因数是4，最小公倍数时168，这个数是多少？

2.甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这个数。

例4.两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这两个数的和。

练习；1.两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数时210，这两个数的和是77，求这两个数。

2.

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数

教室 姓名 学号

【知识要点】

1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。 3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质： （1）（a，b）×［a，b］=a×b；

（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。 （3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。 【典型例题】

例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.

例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？

解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。（90，42）=6.至少能剪90×42÷（

训练A卷

班级_______ 姓名_______ 得分_______

1.选择题（把正确答案的字母填在括号里） （1）两个数的（ ）个数是无限的。

A.公因数 B.公倍数 C.最大公因数 D.最小公倍数 （2）下列四组数中，两个数只有公因数1的数是（ ）。

A.13和91 B.21和51 C.34和51 D.15和28 （3）17是136和476的（ ）。

A.公因数 B.公倍数 C.最大公因数 D.最小公倍数

（4）有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有（ ）对。

A.1 B.2 C.3 D.4

（5）自然数a、b，如果数a除以数b的商是2，那么两数的最大公因数是（ ）。

A. a B. b C.1 D. 2

（6）a、b和c是三个自然数，在a=b×c中，不一定成立的是（ ）。

A.a一定是b的倍数 B.a一定能被b整除 C.a一定是b和c的最小公倍数 D.b一定是a的约数

（7）甲数=2×3×7×A，乙数=2×5×7×A，当A=（ ）时，甲、乙两数的最大公因数是42。

A.2 B.3 C.5

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五年级数学 最大公因数与最小公倍数

知识与方法

1、质数和合数（P88 1、2两题）

质数：一个数除了1和它本身以外，不再有别的因数，这个数叫质数。 合数：一个数除了1和它本身以外，还有别的因数，这个数叫做合数。 ☆ 1既不是质数也不是合数。

☆ 最小的质数是2，最小的合数是4。

☆ 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共计25个。

☆ 除了2，其余的质数都是奇数，除了2和5，其余质数的各位数字只能是1、3、7或9. 2、质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 3、分解质因数的方法（P88第3题）

把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小开始）去除，出得商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出

最大公因数相关练习题

一、按照要求在下面的圈里填数，再找出它们的最大公因数。 12的因数 18的因数 12和18的公因数

12和18的最大公因数是： 。 二、求下面各组数的最大公因数。】

15和18 36和12 45和60 64和72 三、在括号里填上一个数，使它与前面的数成为互质数。 24和（ ） 13和（ ） 2和（ ） 5和（ ） 四、判断题。

（1）如果两个数互质，它们没有公因数。（ ） （2）两个不同的质数一定是互质数。（ ） （3）两个合数一定不是互质数。（ ） 五、先把36和60分解质因数，再回答问题。 36= 60=

36和60公有的质因数有： 。 36和60的最大公因数是： 。 六、生活中的数学。

有三根木棒，分别长12cm、44cm、56cm。要把它们都截成同样长的小棒（不许剩余），每根小棒最长有多少厘米？

七、数学智慧园。

三个

最大公因数和最小公倍数

基本概念

1.公约数和最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

2.公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 3.互质数

如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

例题分析

例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？

1

例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？

练习提高

1． 一个数用3、4、5除都余1，这个

最大公因数和最小公倍数

基本概念

1.公约数和最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

2.公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 3.互质数

如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

例题分析

例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？

1

例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？

练习提高

1． 一个数用3、4、5除都余1，这个

一、教材分析

苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。而且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。只有这些都能够熟练地掌

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1

最大公因数和最小公倍数

一、写出下列各数的最大公因数和最小公倍数

(1) 4和6的最大公因数是；最大公倍数是；

(2) 9和3的最大公因数是；最大公倍数是；

(3) 9和18的最大公因数是；最大公倍数是；

(4) 11和44的最大公因数是；最大公倍数是；

(5) 8和11的最大公因数是；最大公倍数是；

(6) 1和9的最大公因数是；最大公倍数是；

(7) 已知A＝2×2×3×5，B＝2×3×7，那么A、B的最大公因数是；最小公倍数是；

(8)已知A＝2×3×5×5，B＝3×5×5×11，那么A、B的最大公因数是；最小公倍数是。

1.在17、18、15、20和30五个数中，能被2整除的数是（）；能被3整除的数是（）；能被5整除的数是（）；能同时被2、3整除的数是（）；能同时被3、5整除的数是（）；能同时被2、5整除的数是（）；能同时被2、3、5整除的数是（）。

2.在20以内的质数中，（）加上2还是质数。

3.如果有两个质数的和等于24，可以是（）＋（），（）＋（）或

（）＋（）。

4.把330分解质因数是（）。

5.一个能同时被2、3、5整除的三位数，百位上的数比十位上的数大9，这个数是（）。

6.在50以内的自然数中，最大的质数是（），