常微分方程教学大纲课程目标与对应的毕业要求

《常微分方程》教学大纲

课程名称：常微分方程 课程性质：专业必修 课程代码：02070101207 学 分： 4分

总 学 时： 72 学时

适用专业：数学与应用数学专业 先修课程：数学分析 高等代数

一、课程性质、目的与任务

性质：常微分方程是高等师范院校数学专业的一门重要的基础课，是数学理论联系实际的重要学科之一。

目的与任务： 通过常微分方程的教学，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。

二、教学内容与教学基本要求

第一章 序言 (4学时) 第二章 一阶常微分方程的初等解

1、教学内容

第一节 变量分离方程与变量变换 （5学时） 第二节 线性方程与常数变易法

《常微分方程》教学大纲

课程名称：常微分方程 课程性质：专业必修 课程代码：02070101207 学 分： 4分

总 学 时： 72 学时

适用专业：数学与应用数学专业 先修课程：数学分析 高等代数

一、课程性质、目的与任务

性质：常微分方程是高等师范院校数学专业的一门重要的基础课，是数学理论联系实际的重要学科之一。

目的与任务： 通过常微分方程的教学，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。

二、教学内容与教学基本要求

第一章 序言 (4学时) 第二章 一阶常微分方程的初等解

1、教学内容

第一节 变量分离方程与变量变换 （5学时） 第二节 线性方程与常数变易法

微分方程数值解教学大纲

(Numerical solution for differential equation)

课程代码 课程名称 英文名称 学分数 任课教师* 318.103.1.01 编写时间 微分方程数值解 Numerical solution for differential equaiton 3 周学时 3 陈文斌，程晋 开课院系** 数学学院 预修课程 数值逼近，数值代数，常微分方程，偏微分方程 课程性质：本课程为数学学院计算数学方向专业基础课，为数学学院本科三年级学生第二学期所必修。 基本要求和教学目的： 通过本课程的学习，学生应熟练掌握常微分方程和偏微分方程的常用数值求解方法和分析手段。 课程基本内容简介：本课程主要内容为常微分方程和偏微分方程的数值求解问题，包括各种差分方法，有限元方法等的基本理论。 教学方式: 课堂授课+多媒体演示+上机实习+适量的习题课+学生Project； 教材和教学参考资料 作者 教材名称 出版社 出版年月 微分方程数值解法 复旦大学出版社 1999 教材 李立康 参考 资料 教学内容安排： 第一章 微分方程数值解法： （一共12学时，包括习题课） §1 微

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

同济大学五版高等数学学习资料

u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy

第六章 常微分方程的数值解法

§6.0 引言

§6.1 算法构造的主要途径 §6.2 Runge-Kutta Method算法 §6.3 线性多步法

§6.4 线性多步法的一般形式 §6.5 算法的稳定性、收敛性

§6.0 引 言

1． 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解:

?dy?dx?f?x,y????y?x0??y0??

微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2. 例如微分方程:

xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。

于是可得一阶常微分方程的初始问题

???y??2y??x4?y(1)??3。

显然函数y(x)=x2-4x满足以上条件,因而是该初始问题 的微分方程的解。

3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能

够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4． 微分方程的数值解：设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x0=a，将[a,b]进行划分得一系列节点x0 , x1 ,...,xn，其中a= x0< x1<…< xn =b。

y(x)的解析表达式不容易得到或根本无

常微分方程的实际应用

于萍

摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

1

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal dif

关于数值分析的

常微分方程的数值解法

一、题目 2x y y 求解初值问题 y

y 0 1 0 x 1 ，10等分区间，求节点处的近似值，并对所求结

果与分析解的结果进行比较。

二、方法

欧拉法

三、程序

function E=euler(f,a,b,y0,N)

x=zeros(1,N+1);

y=zeros(1,N+1);

x(1)=a;

y(1)=y0;

h=(b-a)/N;

for n=1:N

x(n+1)=x(n)+h;

y(n+1)=y(n)+h*feval(f,x(n),y(n));

end

T=[x',y']

四、结果

>> format compact

>> euler(inline('y-2*x/y'),0,1,1,10)

T =

0 1.0000

0.1000 1.1000

0.2000 1.1918

0.3000 1.2774

0.4000 1.3582

0.5000 1.4351

0.6000 1.5090

0.7000 1.5803

0.8000 1.6498

0.9000 1.7178

1.0000 1.7848

>> y=[1.0000 1.1000 1.1918 1.2774

常 微 分 方 程

试卷（一至十） 试 卷（一）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、以y1＝e2x，y2=exsinx，y3=excosx为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x3y3dx+3x4y2dy=0的通积分是 。 3、柯西问题

dy?x，y（0）=1的解是 。 dx4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。 6、微分方程F(x，y，p)=0若有奇解y=? (x)，则y=? (x) 满足的P-判别式是 。 7、线性微分方程组

dY，Y2（x）…，Yn（x）?A(x)Y的解组Y1（x）

dx在某区间上线性无头的充分必要条件是 。 8、设A＝

1 0 1 0 0 -1 0 0 2 ，则矩阵指数函数exA＝ 。

9、方程y???y??y?0的通解是 。

10、由方程y????3ay???3ay??y?0的通解是 。 二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程

dyx?y?1?的通解： dxx?y?32、 (1+x2)y

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

南京理工大学《常微分方程》期末试卷

姓名 共 ----- 页

学号 南京理工大学 专业应用数学、统计 使用教材 （通编、讲义、自编） 修读性质 初修 、 重期末考试分数占总分数的百分比 % 考试方法 （闭、开）卷 考试时间 判卷人 讲授总学时 学分 教研室主任 密封线题人 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 核分人 一． 求下列一阶微分方程的通解：（28分）

1．

dy?1?x?y2?xy2 dx

2. (x3?xy2)dx?(x2y?y3)dy?0dy?dy?3. ???x?y?0

dx?dx?dyyy2??2 4．

dxxx二. 设连续函数f(x)满足：三. 利用逐次逼近法求方程

2?x0（10分） f(t)dt?x??tf(x?t)dt，求函数f(x)。

0xdy?y2?x2满足初值条件y(0)?1的近似解： dx（8分） ?0(x),?1(x