图论2Km

图 论

第一节 图的基本概念

引入：柯尼斯堡七桥问题，能否从A地发出，各座桥恰好通过一次，最后回到出发地A？

结论：1736年，数学家欧拉首先解决了这个问题，由此开创了图论研究。这事实上是欧拉图的“一笔画问题”。答案是否定的，因为，对于每一个顶点，不论如何经过，必须有一条进路和一条出路，与每一个顶点相邻的线（关联边）必须是偶数条（除起点和终点外），而此图中所有点都只有奇数条关联边。在后面的应用中，我们将专门讨论这个问题。 定义：简单讲，一个图是由一些点和这些点之间的连线组成的。严格意义讲，图是一种数据结构，定义为：graph=（V，E）。V是一个非空有限集合，代表顶点（结点），E代表边的集合，一般用（Vx，Vy）表示，其中，Vx，Vy属于V。

分类：如果边是没有方向的，称为“无向图”。表示时用一队圆括号表示，如：（Vx，Vy），（Vy，Vx），当然这两者是等价的。并且说边（Vx，Vy）依附于（相关联）顶点Vx和Vy。 如果边是带箭头的，则称为“有向图”，表示时用一队尖括号表示，此时与是不同的，如的起点为VX，终点为VY。有向图中的边又称为弧。起点称为弧头、终点称为弧尾。

相邻：若两个结点U、V之间有一条边连接，则称这两个结

图 论

第一节 图的基本概念

引入：柯尼斯堡七桥问题，能否从A地发出，各座桥恰好通过一次，最后回到出发地A？

结论：1736年，数学家欧拉首先解决了这个问题，由此开创了图论研究。这事实上是欧拉图的“一笔画问题”。答案是否定的，因为，对于每一个顶点，不论如何经过，必须有一条进路和一条出路，与每一个顶点相邻的线（关联边）必须是偶数条（除起点和终点外），而此图中所有点都只有奇数条关联边。在后面的应用中，我们将专门讨论这个问题。 定义：简单讲，一个图是由一些点和这些点之间的连线组成的。严格意义讲，图是一种数据结构，定义为：graph=（V，E）。V是一个非空有限集合，代表顶点（结点），E代表边的集合，一般用（Vx，Vy）表示，其中，Vx，Vy属于V。

分类：如果边是没有方向的，称为“无向图”。表示时用一队圆括号表示，如：（Vx，Vy），（Vy，Vx），当然这两者是等价的。并且说边（Vx，Vy）依附于（相关联）顶点Vx和Vy。 如果边是带箭头的，则称为“有向图”，表示时用一队尖括号表示，此时与是不同的，如的起点为VX，终点为VY。有向图中的边又称为弧。起点称为弧头、终点称为弧尾。

相邻：若两个结点U、V之间有一条边连接，则称这两个结

max 是指 最大反应速度。当 底物浓度 足够大时，体系中 酶的活性中心达到饱和状态，其反应速度达到最大。 由此可见，最大反应速度 max 随 酶浓度的变化而变化。 kcat 指反应常数 ( catalytic constant )， kcat 可以由 这个公式计算得到：

kcat = max/[E]

[E] 指 酶浓度，由此可以说， kcat 表示了每单位时间内（秒）每摩尔的酶（或者说每摩尔的活性中心）能够把多少摩尔的底物转化成产物。

Km 俗称 米氏常数，以浓度做单位，米氏常数定义为 反应速度 达到 最大反应速度一半时 的底物浓度。 Km 可以反映出酶与底物的亲和力，Km越低，亲和力越大。

kcat/Km 称为 催化效率，常常以此来比较 不同的酶而同一底物， 或者 不同底物而同一种酶。

KM, kcat, and kcat /KM

KM - The Michaelis constant, KM, is often associated with the affinity of the enzyme for substrate, but this is not always correct. A more accurate statement is t

图论方法建模1 2 3 4 军用物资的运送 图的基本概念 简易公路建设方案 前线弹药供应

1 欧拉七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)有一条 名叫普莱格尔(Pregel)的河流横经其中，河上有7 座桥，将河中的两个岛和河岸连结。北岸

中心岛

东区

城中的居民经常沿 河过桥散步，于是 提出了一个问题： 能否一次走遍7座 桥，而每座桥只许 通过一次，最后仍 回到起始地点?

南岸

1736年欧拉把这个问题的物理背景变换并简化为一种 数学设计(称作图):即把每一块陆地用一个点来代 替，将每一座桥用连接相应的两个点的一条线来代替， 从而相当于得到一个图。欧拉证明了这个问题没有解， 并指出欧几里得几何并不适用于这个问题，因为桥不 涉及“大小”,也不能用“量化计算”来解决。

1 军用物资的运送孙子曰：“善用兵者，役不在籍，粮不三载，取用于 国，因粮于敌，故军食可足也。”

游击队之歌我们都是神枪手，每一颗子弹消灭一个敌人， 我们都是飞行军，哪怕那山高水又深。 在密密的树林里，到处都安排同志们的宿营地， 在高高的山岗上，有我们无数的好兄弟。 没有吃，没有穿，自有那敌人送上前， 没有枪，没有炮，敌人给我们造。 我们生长在这里，每一寸土地都是我们自己的， 无论谁要强

图论

内容提要

第一章 图的基本概念

图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩阵与邻接矩阵。 路、圈与连通图；最短路问题。 树及其基本性质；生成树；最小生成树。

第二章 图的连通性

割点、割边和块；边连通与点连通；连通度；Whitney定理；可靠通信网络的设计。

第三章 匹配问题

匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配；指派问题与最大权匹配。

第四章 欧拉图与哈密尔顿图

欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问题。

第五章 支配集、独立集、覆盖集与团

支配集、点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念及其求法。

第六章 图的着色问题

点着色；边着色；平面图；四色猜想；色多项式；色数的应用。

第七章 网络流理论

有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割定理；求最大流的标号算法；最小费用流问题；最小费用最大流；网络流理论的应用。

主要参考书

[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph theory with applications, 1976, 有中译本（吴望名等译）。 [2] B.Bollobas, Modern graph theory (现代图论)，科学出版社，2001。 [

一、选择题（每小题2分，共50分）

1、设D??V,E?为有向图，则有（ A ）

(A) E?V?V (B) E?V?V (C)V?V?E (D) V?V?E

2、设G??V,E?为无环的无向图，V＝6，E?16，则G 是（D ）

(A) 完全图 (B) 零图 (C) 简单图 (D) 多重图

3、含有5个结点，3条边的不同构的简单图有（ C ）

(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 5个

4、设图G有n个结点，m条边，且G中每个结点的度数不是k就是k?1，则G中度为k的结点的个数是（ D ）

(A) n/2个 (B) n(n?1)个 (C)nk个 (D) n(k?1)?2m个

5、给定下列序列，哪一个可以构成无向简单图的结点度数序列（ B ）

(A) (1,1,2,2,3)

渝怀铁路2—3公里隧道模拟投标 施工组织设计 7、施工方案、方法及工艺

7.4、 2-3公里单线隧道

7.4.1、施工方案

1）工程概况

2）施工方法

本隧道采用钻爆法施工，进出口双头掘进，锚喷临时支护或初期支护,模筑混凝土先墙后拱衬砌。Ⅱ、Ⅲ类围岩地段采用正台阶开挖，Ⅳ、Ⅴ类围岩地段采用全断面开挖。复合衬砌地段按照新奥法的各项原则组织施工。

在隧道洞口设高压水池、空压机站、变压器及配电所等临时设施，通过高压水管、高压风管、电力线向洞内供应风、水、电。

隧道通风先用压入式通风，掘进一定长度后采用混合式通风，各工作面用局扇换气。

隧道进出口均采用有轨运输。洞内设双道，双道间每200m左右设一渡线，每隔2～3个渡线设一反向渡线。轨行式挖斗装碴机装碴，直流电瓶车牵引，梭式矿车出碴，轨行式混凝土搅拌运输车运送混凝土。洞内碴如需远运，在洞口进行倒装，采用自卸汽车运至弃碴场。

Ⅱ类围岩段采用风镐开挖；Ⅲ类以上围岩采用气腿式风钻打眼，光面爆破。 隧道开挖均采用控制爆破（光面爆破或预裂爆破），以减轻对围岩的扰动，控制超欠挖。

衬砌立模以自制的边墙衬砌台车和拱圈衬砌

第十二章 图论在数学建模中的应用

图论是数学的一个既有古老的历史渊源而又十分年轻的分支，是一门生气勃勃、

广大前途的学科。它既很强的理论性，与数学的一些分支如数论、几何学及运筹学等都有密切联系，又有广泛的应用价值，图论在化学、统计学、生物学、信息论、计算机科学中都有很强的实际应用背景，并且饶有趣味，引人入胜。图论方法是建立数学模型的重要方法之一。利用图论知识，通过建立图论模型，解决实际问题是学习图论课程的重要目的之一。本章我们通过大量的实例，系统介绍如何利用图论知识建立数学模型，解决实际问题的基本方法和技巧，培养分析问题、解决问题的能力。

12.1图论在数学建模中的一些简单应用

本节将通过对在社会生产活动中有很强实际应用背景的一些简单实例的分析，展示如何利用图论知识，通过数学建模方法将实际问题转化为图论问题加以解决的基本方法和技巧。

例1.相识问题

1958年美国《数学月刊》发表了一个数学问题：在6人的集会上，总能找到或者3个人互相都认识，或者3个人谁也不认识谁，假定认识是相互的。 这个表面看来似乎无法下手的问题，可以通过图论法轻易获得解决。 分析与建模：用6个点（记为u1,u2,?,u6）表示6个人，若两个人互相认识，就在相应的两个点之间

一、图论的基础概念

以下概念不是定义，也不一定完全，只是一些常用的概念，比较通俗化。在以后具体的算法中再适当加入概念。

图： 由点和线组成的图形。 顶点： 图中的结点。

无向图： 边没有正反方向。

完全图： 在N个顶点的无向图中，边最大为n*（n-1）/2称为无向完全图 度： 与结点相连的边数。 有向图： 边有正反方向。

入度（出度）：连入（出）的边数。（对于有向图来说） 奇顶点：结点的度是奇数的点。

路径：如果从a到b可达（包括直接到达或者中间有其他结点）那么从a到b就有一条路径。一条路径就

是一种走法，路径的边数叫做路径长度。一条路径上的n个顶点的集合叫做连通集。

回路（环）：从a?b????a

简单路径：存在从a?b???e此条路径中每个结点不同。

有根图：有结点到其他任意结点连通，则此结点为根，一个图可以有多根。 连通图：若图中任意两个结点可以连通，则此图为连通图（无向图）。 强连通图：任意i到j都有从i到j的路径。（有向图） 强连通分支：强连通的最大子图。

道路：可以一笔画成的图，并且不重不漏。

*充分必要条件：图是连通的，且奇顶点的个数等于0或2

并且当且仅当

图论复习题

第一章 图

主要内容：

1．图的基本概念和基本定理（重点是完全图、二部图、图的同构、握手定理等） 2．轨道和圈（最长轨理论）

练习题目：

1．5阶无向完全图的边数为__10_____。

2．图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的_充分必要条件

______。

3．图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的_充分必要条件

______。

4．设无向简单图的顶点个数为n，则该图最多有_n(n-1)/2_ 条边。

5．一个有n个结点的图，最少有___1____个连通分支。

6．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有___4____个。

7．单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图． 解：设G中有x各结点，则3度的结点有x-7 根据握手定理有，1x2+2x2+4x3+3x(x-7)=2x12 解得x=9,故G中有9个结点。 满

足

条

件

的

图

如

下

：

8．单连通无向图G有9条边，G中有4个3度结点，2个1度结点，其余结点度数为2．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．