高中解不等式的方法

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

不等式证明的若干方法

作者：金克川 指导老师：杨翠

摘要 无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的

重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.

关键词 不等式 比较法 数学归纳法 函数

1引言 在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和

高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的

中原工学院

1 常用方法

1.1比较法（作差法）[1]

在比较两个实数a和b的大小时，可借助a?b的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.

例1 已知：a?0，b?0，求证：证明

a?b2a?b2?ab.

b)2?ab?a?b?2ab2a?b2?ab?(a?2?0，

故得 1.2作商法

.

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助作商——变形——判断（大于1或小于1）.

例2 设a?b?0，求证：aabb?abba. 证明 因为 a?b?0， 所以 而

abaab?1或

ab?1来判断其大小，步骤一般为：

?1，a?b?0.

baababb?a?????b?a?b?1，

故 aabb?abba. 1.3分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.

例3 求证：

维普资讯

20 0 2年第 1 0期

数学学习与研究

. .

“≤一

},

只有把已学知识看成待创造成果，拓展、探去去索、去联想、去追根，才能把巩固知识与培养能力，

..

u(一] 一手. e,

拓展思维有机结合。以增强应变能力，创造能发展力，高数学素质，提适应素质教育的要求！

可见 .习知识的过程就是一个创新的过程，复

对数函数中有趣的同异规律(吉林省抚松一中 140 )王美琳指导教师陈福珍 350我们在学习对数函数的性质时，中在学习其值域时 .由图象仔细观察会得如下结论：() 1Ⅱ>1 >1时， g>0且 t o; () 2口>1 0<<1, g<;且，时 t 0 o () 3 0<口<1 0<<1, g>0且 时 t o; () 4 0<Ⅱ<1且>1, g< .时 t 0 o

由真数相同且大于 1时，数值大则底小，对选( . A)

例知o丁 l÷>则D 2已 t 1。 0 (. g> , )( 1 A)<b< 。( 1 B)<Ⅱ<b

即 n与同正异负是判断对数式 t 取值 o g正负的一个规则 .

( 0<Ⅱ<

篇一：9.1.1不等式及其解集

年级：七 周次： 课时： 北屯初级中学 数学 课堂导学案 上课时间：年月 日 星期：

北屯初级中学 数学 课堂导学案（续）

篇二： 9.1.1不等式及其解集

2016年临夏市第二中学数学同课异构教学

9.1.1教学设计

不等式及其解集

学校：临夏市第二中学 教师：马龙

班级：七年级7班

时间：2016年05月24日

篇三：9.1.1不等式及其解集

七年级数学自主学习方案

班级 姓名：

均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是An Gn: 一些大家都知道的条件我就不写了

x1 x2 ... xn

n

x1x2...xn

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

二维已证，四维时：

a b c d (a b) (c d) 2ab 2cd 4八维时:

(a b c d) (e f g h) 4abcd 4efgh 8abcdefgh

abcd

4abcd

这样的步骤重复n次之后将会得到

x1 x2 ... x2n

2

n

2

n

x1x2...x2n

令x1 x1,...,xn xn;xn 1 xn 2 ... x2

n

x1 x2 ... xn

n

A

由这个不等式有

A

nA (2 n)A

2

nn

1

2

n

x1x2..xnA

2 n

n

(x1x2..xn)2A

n

1

n2

n

即得到

x1 x2 ... xn

n

n

x1x2...xn

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

n

若0 ai 1(i 1,2,...,n)证明

i 1

11 ai

n

1

1 (a1a2...an)n

例2：

均值

南通大学毕业论文

摘 要

在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．

关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

1

南通大学毕业论文

ABSTRACT

When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper th

口诀巧取不等式组的解集

在教学北师大版八年级下册一元一次不等式（组）的时候，学生在学习不等式组的解法和解集后，我发现学生在求解这个不等式组的解集时相当费时间，而且也容易出错。因为要求出这个不等组的解集，传统的解法是：先通过让学生先在数轴上把不等式组中各个不等式的解集表示出来，而且每一个解集都是要经过“三定”：定界点、定空实心，定方向，然后再找出各个解集的公共部分。传统的这个方法的优势是形象具体，不足这处在于，在数轴上表示各个不等式的解集非常耗时间、占空间，为了弥补这一不足，帮助学生节省时间，在学生做了大量的求解一元一次不等式组的解集后，我和学生对照各个解集一起总结出了一首不用画数轴也能快速取到不等式解集的口诀，简明易记，朗朗上口。

不等式组解集的口诀取法：同大取大，同小取小，大小小大取中，大大小小取空。

（前提：一个含有两个不等式的一元一次不等式组中的两个不等式最后均已经变成最简形式,即已经求出各自的解集）

四句的含义解释如下（用x表示未知数,且设a＞b）：

（1）同大取大

“同大取大”中的“同大”就是两个不等式同是大于号“＞”,“取大”就是取两个数中较大者作为不等式组的解集

即如果原不等式组最后化为：

｛x＞a

｛x＞b

在a、b当中取大的那一个,即不等式组

9.1.1不等式及其解集 学习单

一、问题情境

1.一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A 地50km ，要在12:00刚好驶到A 地，车速应为多少？

2.一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A 地50km ，要在12:00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？

二、建构活动

活动一

1.黑板上的式子有什么区别？

2.什么是不等式？

.

3.请根据定义编写不等式.

.

4.用不等式表示：

(1)a 是正数； (2)b 是非负数；

(3)x 与2的和小于或等于8； (4)a 的2

1最小是3； (5)b 与2的差不足10； (6)a 的平方不小于0.

活动二

的解吗？你能写出不等式503

2.1>x 叫做不等式的解.

2.不等式503

2>x 有多少个解？ 不等式的解集： .

3.下列说法正确的是( )

A.x =3是2x +1>5的解集；

B.x =2是

小中高 精品 教案 试卷

三 排序不等式

1．顺序和、乱序和、反序和

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．

2．排序不等式(排序原理)

定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，

c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1

＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．

用排序不等式证明不等式(所证不等式中字母大小顺序已确定)

a5b5c5111 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：33＋33＋33≥＋＋.

bccaababc 分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用

《9.1.1 不等式及其解集》说课稿

曹寺学区曹寺中学

各位评委老师，大家好!今天我说课的题目是人教版数学七年级下册第九章第一节第一课时《不等式及其解集》，下面我将从说课标、教材分析、学法、教法、以及教学过程等几个方面对本课的设计进行说明。

一、课标

根据新课程标准所提出的“让学生从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，通过解决问题帮助学生初步建立不等式的模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。使学生获得必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。” 所以在本节课的设计中力求使“自主探索、动手实践、合作交流”成为学生学习的主要方式。下面向大家介绍一下我对本节课的理解与设计。 二：教材内容分析：

1、本节教材的编排意图（地位和作用）

本节课是学生在学习了一元一次方程和二元一次方程组的概念、解法及其应用后面临的一个新问题，不等式从某种程度上讲是等式的延伸，而在此之后，我们所要学的很多知识，比如，不等式的性质，一元一次不等式组，二次函数及方案设计等问题都要用到本节课的内容。因此，本节课的内容在整个中学数学起着承前启后的作用，通过本节课的学习可以使学生思维变