高中数学必修五不等式公式大全

广东省一级学校-陆丰市林启恩纪念中学亲情奉献,高中数学资料

第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）

一、教学目标

1．使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）

产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组.

2. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

3．通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，

通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提高学习质量。

二、教学重、难点

重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理

解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学过程

（一）[创设问题情境]

问题1：设点A与平面 的距离为d，B为平面 上的任意一点，则d≤AB。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1

元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售的总

高中数学必修五公式大全

一、解三角形：ΔABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系： 1、角的关系：A + B + C =____，

特殊地，若ΔABC的三内角A, B, C成等差数列，则∠B =_____， ∠A +∠C =____.

2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) =________, cos ( A + B ) = ________,

sin (ABCABC2?2) = cos2 , cos (2?2) = sin2.

3、边的关系：a + b > c , a – b < c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.） 4、边角关系：（1）正弦定理：???2R

（R为ΔABC外接圆半径），

?a?2RsinA 分体型：???，推论：a:b:c?::.

???（2）余弦定理：??a2?____?____?__________,?b?____?____

变形：??2?cosA???__________,????c2?____?____?__________.?cosB?????cosC?5、面积公式：S?ABC?_______?_______?_______.

二、数列 （一）、等差数列{ a n }：定义：_____?_____?__

高中数学必修五公式大全

一、解三角形：ΔABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系： 1、角的关系：A + B + C =____，

特殊地，若ΔABC的三内角A, B, C成等差数列，则∠B =_____， ∠A +∠C =____.

2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) =________, cos ( A + B ) = ________,

sin (ABCABC2?2) = cos2 , cos (2?2) = sin2.

3、边的关系：a + b > c , a – b < c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.） 4、边角关系：（1）正弦定理：???2R

（R为ΔABC外接圆半径），

?a?2RsinA 分体型：???，推论：a:b:c?::.

???（2）余弦定理：??a2?____?____?__________,?b?____?____

变形：??2?cosA???__________,????c2?____?____?__________.?cosB?????cosC?5、面积公式：S?ABC?_______?_______?_______.

二、数列 （一）、等差数列{ a n }：定义：_____?_____?__

御龙如痴如醉,地下忘记疲惫,炫舞手鼓敲碎,问道闭眼都会┊,飞车百战不退,魔兽砍人无罪,垃圾学校万岁┊。

听课随笔

第2课时不等式

【学习导航】 B(－2 , 0) , C(2 , 0) , 求△ABC内任一点(x , y)所满足的条件.

学习要求 1.理解二元一次不等式组表示平面区域的含义，并能准确地作出二元一次不等式组表示的平面区域，还能处理

一些逆向问题．

2.学会解决一些简单的整点问题．

【课堂互动】 思维点拔： 1.二元一次不等式组表示平面区域的画

图步骤：画线(注意虚线还是实线)，定侧，自学评价

求交． １．不等式组表示的平面区域

2.由平面区域写不等式组，一要注意是否 .

２．整点： . 有等号，二要注意不要少写不等式．

【精典范例】 追踪训练一 例1．画出下列不等式组所表示的区域 1. 画出下列不等式组所表示的区域

ìy?2x1ïï (1) í ïx+2y>4ïî

ìx>0ïïï (2) &#

高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）

【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若a,b,c,d?R，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式1.若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d20

|ac?bd|或a2?b2?c2?d2ac?bd；

0

变式2.若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d2(a?c)2?(b?d)2 ；

变式3.（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则： (x1?x2)2?(y1?y2)2?(x2?x3)2?(y2?y3)2?3. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，

0

ai,bi?R(i?1,2,…,n)，

则： .当且

3.1 不等关系与不等式

一、教学目标：

知识与技能：

1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式

（组）的实际背景，2.掌握不等式的基本性质；

过程与方法：

1.通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

2.会用不等式的性质证明简单的不等式；

情感、态度与价值观：

通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.

二．重点难点

重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

利用不等式的性质证明简单的不等式。

三、教材与学情分析

由具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发

3.1.2 不等式的性质 学案

【预习达标】

1．不等式的对称性用字母可以表示为 ．

2．不等式的传递性用字母可以表示为____________________．

3．不等式的加减法则是指不等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）不等号方向不变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相加，用字母可以表示为 ．

4．不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可以表示为 ；同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示为 。

5．乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先变形。如：a

6．倒数法则是对同号的两个数而言的，即只要两个数同号，那么大数的倒数就一定小，用字母可以表示为 ；若两个数异号，由于正数大于所有负数，所以倒数的大小自

基本不等式

【知识梳理】

1．重要不等式

当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式

a＋b

（1）有关概念：当a，b均为正数时，把2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．

（2）不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算a＋b

术平均数，即ab≤2，当且仅当a＝b时，等号成立．

?a＋b?2

?，a＋b≥2 ab(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等(3)变形：ab≤?

?2?号成立)． 【常考题型】

题型一、利用基本不等式证明不等式

【例1】 已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. [证明] 由基本不等式可得： a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理：b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2，

∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 【类题通法】

1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．

高二数学

不等关系；一元二次不等式的解法同步练习

（答题时间：60分钟）

一、选择题

1、若a，b是实数，且a>b，则下列结论成立的是（ ）

b11

A. a2 b2 B. 1 C. lg(a b) 0 D. ()a ()b

a22

*2、若a<0，－1<b<0，则（ ）

A. a ab ab2 B. ab2 ab a C. ab b ab2 D. ab ab2 a *3、设a>b>1，P

lgalgb,Q

1a b(lga lgb),R lg()，则（ ） 22

A. R<P<Q B. P<Q<R C. Q<P<R D. P<R<Q

2

2） （4， ）*4、若ax2 bx c 0的解集是（ ，，则对于函数f(x) ax bx c 应有（ ）

A. f(5) f(2) f( 1) C. f( 1) f(2) f(5)

B. f(2) f(5) f( 1) D. f(2) f( 1) f(5)

**5、函数f(x)

x 4

的定义域是（ , )，则实数a的取值范围是（ ） 2

ax 4ax

高中数学必修五·不等式单元测试题（难度中档·细解析）

一、选择题

1．a,b是任意实数，且a?b，则下列结论正确的是（ ）

A.a2?b2 B.

b?1 C.lg(a?b)?lg1 D. 3?aaa?b?3?b

2．若点A(x,y)在第一象限且在2x?3y?6上移动，则log3x?log3y （ ）

22A、最大值为1 B、最小值为1 C、最大值为2 D、没有最大、小值

3．已知集合S=R，A?{x|x2?2x?3?0},B?{t||t?2|?2}，那么集合CS(A?B)等于

A．{x|0?x?3} B．R C．{x|x?0,或x?3} D．{x|x??1,或x?4}

4．下列各一元二次不等式中，解集为空集的是 （ ）A．(x+3)(x－1)>0 B．(x+4)(x－1)<0 C．x2

－2x+3<0 D．2x2

－3x－2>0

5．若0＜a＜1，则不等式（x－a）(x－

1a)>0的解集是 （ ） A．(a，1a)