建立微分方程模型的方法

第三节 微分方程模型

本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。

一、徽分方程应用举例

人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。

在一些应用问题中， 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。

下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况， 建立一个关于

，y与t的关系式， 它在任何时刻均成立。对这个方程积分， 便得到一个只含

的新方程。新方程中含有积分常数， 并且对于任何特定的t仍然成立。

。对于任何确

有y和t而不含

然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是，得函数定的t0，都可以算出

。

一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤：

第三节 微分方程模型

本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。

一、徽分方程应用举例

人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。

在一些应用问题中， 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。

下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况， 建立一个关于

，y与t的关系式， 它在任何时刻均成立。对这个方程积分， 便得到一个只含

的新方程。新方程中含有积分常数， 并且对于任何特定的t仍然成立。

。对于任何确

有y和t而不含

然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是，得函数定的t0，都可以算出

。

一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤：

求实

创新

团结

奉献

第六章

微分方程模型

求实

创新

团结

奉献

本章内容 微分方程基本概念及建模方法 一阶微分方程(组)模型 稳定性模型

求实

创新

团结

奉献

一、微分方程基本概念及建模方法

微分方程的阶 解：特解、通解、解析解、数值解 初值问题 在实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少 ”等关键词提示我们什么量在变化，关键词“速率”、“增 长”、“衰变”、“边际的”等常涉及导数。

求实

创新

团结

奉献

建立微分方程常用方法

运用已知物理定理 利用平衡与增长式 运用微元法

应用分析法

求实

创新

团结

奉献

1、运用已知物理定律

例1、物体冷却过程将物体放置在空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为u0=1500C,10分 钟后测量得温度为u1=1000C.我们要求此物体的温度u和时间t的关系，并计 算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持在ua=240C. Newton冷却定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的 变化速率正比于 T与周围介质的温度差。解：设物体在 t 时刻的温度为 u u t , t 0 , 根据牛顿冷却定律知， 成正比，建立模型如下： du k (u u a ) dt

人口模型在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特 征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微 分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它 甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是非常广泛的。 从现在起，我们将向大家介绍一些很著名的微分方程模型，它们中，最简 单，也是最直观的，就是人口模型。对于人口模型，我们向大家介绍两个模型。 1、MALTHUS模型 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在 人口自然增长过程中，净相对增长率(出生率减去死亡率为净增长率)是常数。 设时刻t的人口为N(t),净相对增长率为r,我们把N(t)当作连续变 量来考虑。按照Malthus的理论，在t到t+ t时间内人口的增长量为N ( t Δt ) N ( t ) r Δt N ( t )

N ( t Δt ) N ( t ) r N( t ) Δt

令 t→0,则得到微分方程、dN rN dt

设t=0时人口为N0,即有Nt 0

N0

我们易求得微分方程在上面的初始条件下的解为 N ( t ) N0 ert 如果r>

微分方程模型（动态模型） 微分方程模型（动态模型） 在研究某些实际问题时， 在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量 之间的联系， 之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些 关系。利用这些关系， 关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模 在自然界以及工程技术领域中， 型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大 量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等 量存在的。 领域中去，其影响是广泛的。 领域中去，其影响是广泛的。 ? 随时间(空间)变化的数量关系 随时间(空间) ? 微分方程: 含有未知函数的导数(或微分)的方程 微分方程: 含有未知函数的导数(或微分) ? 例: 人口模型 、种群竞争模型 1
动态模型的作用： 动态模型的作用： ? 描述对象特征随时间 空间 的演变过程 描述对象特征随时间(空间 空间)的演变过程 ? 分析对象特征的变化规律 ? 预报对象特征的未来性态 ? 研究控制对象特征的手段
微分方程建模的方法： 微分方程建模的方法： ? 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 根据函数及其变化率 变化率之间的关系确定函数 ? 根据建模目的和问题分析作出简化假设 内在规律或用类比法建立微分方程 ? 按照内

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

实 验 六

实验项目：传染病模型——微分方程模型实验

实验目的：1.进一步巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力； 2.学习掌握用数学软件包求解微分方程数值解的相关命令。 实验内容：1.建模实例，传染病问题等； 2.编程求解。

一、模型实例-----传染病模型

? 问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

? 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求

t时刻的感染人数。

m? 2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为 。单位时间内感染人

数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型

x求时刻

t的感染人数。

实验方法与步骤 1、问题分析

a、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 b、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。

c、

常微分方程中常用的解题方法

1、变量分离法，一阶常微分方程求解有两个重要的方法：一是变量分离方法，

二是全微分方程及积分因子的方法。其中前者是通过适当的变形及变换，将自变量、自变量的微分和因变量的微分分别置于方程的两端，然后分别进行积分即可得方程的通解后者则是寻求适当的积分因子，将方程化为通解的恰当方程，进一

d步得通解。如求方程

的通解。 ddyy=0是解，若y?0，分离变量，得所以原方程通解

(c?R) ?，两端分别积分，得ln|y|=x^2+c。y2、积分因子的方法 ，形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的一阶微分方程，因为其

dy中X和Y的地位对等性，所以较之于一阶微分方程的常见形式

?dx ??更具有一般性。若该方程中有

? 则存在u(x,y)，使得 ?du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy，此时，该方程称为恰当微分方程，其通解为u(x,y) =c。

当然大部分的方程并不是恰当微分方程，但是我们可以寻求与其通解的恰当微分方程，即可以寻求积分因子?(x,y) ，使得通解方程?M(x,y)dx+?N(x,y)dy=0为恰当方程。积分因子的方法为求解一般的一阶微分方程提供了一种全新的思路。例

?m?y??如求解ydx+(y-x)d

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以

第十二章 微分方程

一、内容提要

（一）主要定义

【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.

【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.

一般形式为： Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为：y?n??(n)??0.

??fx,y,y?,?,y?n?1?.

?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,

或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.

根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.

【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.

例

【例1