函数的最大值和最小值是唯一的吗

函数的最大值和最小值

教材分析 函数的最大（小）值是函数的一个重要性质。它和求函数的值域有密切的关系，对于在闭区间上连续的函数，只要求出它的最值，就能写出这个函数的值域。通过对本课的学习，学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性，并且锻炼了利用函数思想解决实际问题的能力；同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学

在生活、实际中的应用，体会到函数问题处处存在于我们周围。

学情分析 在初中学生对已经经历了中学函数学习的第一阶段，学习了函数的描述性概念接触了正比例函数，反比例函数 一次函数 二次函数等最简单的函数，了解了他们的图 像和性质。鉴于学生对二次函数已经有了一个初步的了解。因此本节课从学生接触过的二次函数的图象入手，这样能使学生容易找出最高点或最低点。但这只是感性上的认识。为了让学生能用数学语言描述函数最值的概念，先从具体的函数y=x2入手，再推广到一般的函数y=ax2+bx+c (a≠0)。让学生有一个从具体到抽象的认识过程。对于函数最值概念的认识，学生的理解还不是很透彻，通过对概念的辨析，让学生真正理解最值概念的

函数的最大值和最小值

教材分析 函数的最大（小）值是函数的一个重要性质。它和求函数的值域有密切的关系，对于在闭区间上连续的函数，只要求出它的最值，就能写出这个函数的值域。通过对本课的学习，学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性，并且锻炼了利用函数思想解决实际问题的能力；同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学

在生活、实际中的应用，体会到函数问题处处存在于我们周围。

学情分析 在初中学生对已经经历了中学函数学习的第一阶段，学习了函数的描述性概念接触了正比例函数，反比例函数 一次函数 二次函数等最简单的函数，了解了他们的图 像和性质。鉴于学生对二次函数已经有了一个初步的了解。因此本节课从学生接触过的二次函数的图象入手，这样能使学生容易找出最高点或最低点。但这只是感性上的认识。为了让学生能用数学语言描述函数最值的概念，先从具体的函数y=x2入手，再推广到一般的函数y=ax2+bx+c (a≠0)。让学生有一个从具体到抽象的认识过程。对于函数最值概念的认识，学生的理解还不是很透彻，通过对概念的辨析，让学生真正理解最值概念的

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： A A

mPm

BB（2）点A、B在直线同侧：

A BA

P m B m

A'A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 A m（1）两个点都在直线外侧：

A mP'P Q'Q n n

B

B（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

A mA mPB B Q n nB' A'（3）两个点都在内侧： m mAAP

BBQ n nB'（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的nn内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使AABA'B得围成的四边形ADEB周长最短.

D填空：最短周长=________________

mEm变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别

B'上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

n A'nA

Q APm mA\ 1

二）、

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： A A

mPm

BB（2）点A、B在直线同侧：

A BA

P m B m

A'A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 A m（1）两个点都在直线外侧：

A mP'P Q'Q n n

B

B（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

A mA mPB B Q n nB' A'（3）两个点都在内侧： m mAAP

BBQ n nB'（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的nn内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使AABA'B得围成的四边形ADEB周长最短.

D填空：最短周长=________________

mEm变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别

B'上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

n A'nA

Q APm mA\ 1

二）、

利润最大值模型

摘要

本文首先就售价和预期销售量(千桶)的关系的问题上做了售价售量模型讨论，应用数据拟合的知识，就所得的数据（见表1）建立了一条关于售价和预期销售量的拟合曲线，通过观察拟合的曲线和原数据的拟合程度确定了售价和预期销售量呈线性关系。其中用方程是可以表示为

y(x)=-5.1333*x+50.4222

表1 售价 2．00 2．50 3．00 3．50 4．00 4．50 5．00 5．50 6．00 预期销41 38 34 32 29 28 25 22 20 售量（千桶） 在确定了销售价格和销售量的关系后，我们又在销售量上下功夫，建立了销售增长因子模型，据表2数据体现，适当的广告费投入能够增大销售增长因子，能提高销售量，这样就能增大利润，我们又拟合了关于广告费和销售增长因子的关系曲线，通过观察得知广告费和销售增长因子呈二次关系。其中用方程可以表示为

h(z)=-0.0004*z^2+0.0409*z+1.0188

表2 广告费（千元） 0 10 20 30 40 50 60 70 销售增长因子 1．00 1．40 1．70 1．85 1．95 2．00 1．95 1．80 为了能够得到最大利润，结合方程1和方程2，进一步得

上海电机学院

第四节 函数的最大值和最小值 及其在经济中的应用一、函数的最大值与最小值二、经济应用问题举例

三、小结

思考题

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一、函数的最大值与最小值经济问题中，经常有这样的问题，怎样才 能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最 低”、“效益最高”等等.这样的问题在数学中 有时可归结为求某一函数(称为目标函数)的最 大值或最小值问题. 根据自变量的取值范围，分以下两种情况 讨论.

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1.目标函数在闭区间连续由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理 知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法 步骤如下：第一步，求出有可能取得最值的点，包括 使 f ( x ) 0和 f ( x ) 不存在的点，及区间端点.

第二步，计算所求出的各点的函数值，比 较其大小，选出最大值和最小值.

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2.目标函数在开区间连续开区间的连续函数不一定有最大、最小值. 即使有最大值、最小值，也不能用上述方法求 出.若函数满足下列两个条件：

(1) f ( x ) 在开区间有且仅有最大(小)值；

(2) f ( x ) 在开区间只有一个可能取得极值的点；则可以断定这个极值点一定是函数的最大 (小)值点.

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二、经济应用问题举例1. 最大利润问题

在经

隐圆求最值

例1（12年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

例2（13年武汉中考） 如图, E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点, 满足AE＝DF. 连接CF交BD于G, 连接BE交AG于点H. 若正方形的边长为2, 则线段DH长度的最小值是 .

例3、如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF分别交射线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为 .

练习

1、如图, Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠ABC＝30°, AB＝6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、C重合), 且DA＝DE, 则AD的取值范围是 .

2、如图, 已知边长为2的正△ABC, 两顶点A、B分别在直角∠MON的两边上滑动, 点C在∠MON内部, 则OC的长的最大值为 .

3、如图, ∠xOy＝45°, 一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、

隐圆求最值

例1（12年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

例2（13年武汉中考） 如图, E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点, 满足AE＝DF. 连接CF交BD于G, 连接BE交AG于点H. 若正方形的边长为2, 则线段DH长度的最小值是 .

例3、如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF分别交射线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为 .

练习

1、如图, Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠ABC＝30°, AB＝6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、C重合), 且DA＝DE, 则AD的取值范围是 .

2、如图, 已知边长为2的正△ABC, 两顶点A、B分别在直角∠MON的两边上滑动, 点C在∠MON内部, 则OC的长的最大值为 .

3、如图, ∠xOy＝45°, 一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、

.

精品 课时分层作业(十九) 最大值与最小值

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、填空题

1．已知函数f (x )＝x 3－3x ，|x |≤1，f (x )的最小值为________．

【解析】 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1,1]上是单调递减函数，f (x )的最小值为f (1)＝－2.

【答案】 －2

2．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是________. 【导学号：95902240】 【解析】 由f (x )＝x e x 得f ′(x )＝1－x e

x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1,2]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，∴当x ＝1时，函数取得最大值f (1)＝1e

. 【答案】 1e

3．函数y ＝x －sin x ，x ∈????

??π2，π的最大值是________． 【解析】 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈??????π2，π时，y ′＞0，则函数y 在区间????

??π2，π上为增函数，

所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π.

【答案】 π

4．

周长最小值专题（试题部分 生用）

A.线段和最小值 两种基本模型

如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？

求线段和最小值的一般步骤：

①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’ ②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P， 点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。 基本解法::利用对称性,将“折”转“直”

基础训练

1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为

A.1 B.

2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。

C.

D.2

图4

2.如图，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为___。

B.三角形周长最小值

1.（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．