微分几何第三版梅向明pdf

微分几何主要习题解答

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) ×

???????r'(t)= 0。

? 分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=?(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向

??量函数，?(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，??即e(t)为常向量，（因为e(t)的长度固定）。

????? 证 对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=?(t)e(t)，若r(t)具有固

????????定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)=?'(t)e，所以 r×r'=??'（e×e）=0。

?????????反之，若r×r'=0 ，对r(t)=?(t)e(t) 求微商得r'=?'e+?e'，于是r×

?????????2r'=?（e×e'）=0，则有 ? = 0 或e×e'=0 。当?(t)= 0时，r(t)=0可与任意方

???????????向平行；当??0时，有e×e'=0，而（e×e')2=e2e'2-(e·e')2＝e'2，（因为e??????具有固定长， e·e'= 0） ，所以 e'=0，即e为常向量。所以

微分几何主要习题解答

§4.直纹面和可展曲面

?12 1. 证明曲面r={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

33?r12证法一： 已知曲面方程可改写为r={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令a(u)={u2,2u3,u4}，

33rrr?r122rb(u)={,u,u}，则=a(u)+ vb(u)，且b(u)?0，这是直纹面的方程 ，它满足

332u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

rrb(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹面，又因为

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2rrr?sinvcosv1=0，所以所给曲面为可展曲面。 (a',b,b')=

?cosv?sinv0证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv,

微分几何主要习题解答

§4.直纹面和可展曲面

?12r 1. 证明曲面={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

33?12r证法一： 已知曲面方程可改写为={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令

33rrr?rr122234a(u)={u,2u,u}，b(u)={,u,u}，则r=a(u)+ vb(u)，且b(u)?0，这是直

33纹面的方程 ，它满足

2u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv, rrsinv+vcosv, 2v}，b(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)rrr又因为(a',b,b')=

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2?sinv?cosvcosv?sinv1=0，所以所给曲面为可展曲面。 0?0，所以曲面为直纹面，

证法二

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§4.直纹面和可展曲面

?12r 1. 证明曲面={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

3333rrr?rr122234vb(u)，且b(u)?0，这是a(u)={u,2u,u}，b(u)={,u,u}，则r=a(u)+

33直纹面的方程 ，它满足

?12r证法一： 已知曲面方程可改写为={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令

2u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv, rrsinv+vcosv, 2v}，b(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹

1=0，所以所给曲面为0rrr面，又因为(a',b,b')=可展曲面。

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2?sinv?cosvcosv?sinv证法二

微分几何主要习题解答

§4.直纹面和可展曲面

?12 1. 证明曲面r={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

33?r12证法一： 已知曲面方程可改写为r={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令a(u)={u2,2u3,u4}，

33rrr?r122rb(u)={,u,u}，则=a(u)+ vb(u)，且b(u)?0，这是直纹面的方程 ，它满足

332u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

rrb(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹面，又因为

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2rrr?sinvcosv1=0，所以所给曲面为可展曲面。 (a',b,b')=

?cosv?sinv0证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv,

第二章 曲面论 §1曲面的概念

1.求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r={ucosv0 ,u sinv0,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u {cosv0,sinv0,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线.

证 u-曲线为r={ a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0}={ av0, bv0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ av0, bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;

v-曲线为r=｛a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v｝=｛au0, bu0,0｝+v{a,-b,2u0}表示过点(au0, bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线.

3．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}上任意点的切平面和法线方程.

??解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0}

x?acos?cos?y?acos?sin??as

常微分方程

2.1

dy?2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx 解：对原式进行变量分离得

1.

1dy?2xdx,两边同时积分得：lny?yc?1,故它的特解为y?ex。2x2?c,即y?cex把x?0,y?1代入得2

2.ydx?(x?1)dy?0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

2解：对原式进行变量分离得：

?1111dx?2dy,当y?0时，两边同时积分得；lnx?1??c,即y?x?1yc?lnx?1y当y?0时显然也是原方程的解。当x?0,y?1时，代入式子得c?1,故特解是1y?。1?ln1?x

ydy3 ?dxxy?x1?23y

解：原式可化为：

dy?dx1?y2y?1x?x显然31?y2y?0,故分离变量得y1?ydy?21x?x23dx221两边积分得ln1?2y212?lnx?ln1?x?lnc(c?0),即(1?2(1?x)?cxy）222y)(1?x)?cx

故原方程的解为（1?4：(1?x)ydx?(1?y)xdy?01?x1?y解：由y?0或x?0是方程的解，当xy?0时，变量分离dx?dy?0xy两边积分lnx?x?lny?y?c,即lnxy?x?y?c,故原方程的

常微分方程

2.1

dy?2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx 解：对原式进行变量分离得

1.

1dy?2xdx,两边同时积分得：lny?yc?1,故它的特解为y?ex。2x2?c,即y?cex把x?0,y?1代入得2

2.ydx?(x?1)dy?0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

2解：对原式进行变量分离得：

?1111dx?2dy,当y?0时，两边同时积分得；lnx?1??c,即y?x?1yc?lnx?1y当y?0时显然也是原方程的解。当x?0,y?1时，代入式子得c?1,故特解是1y?。1?ln1?x

ydy3 ?dxxy?x1?23y

解：原式可化为：

dy?dx1?y2y?1x?x显然31?y2y?0,故分离变量得y1?ydy?21x?x23dx221两边积分得ln1?2y212?lnx?ln1?x?lnc(c?0),即(1?2(1?x)?cxy）222y)(1?x)?cx

故原方程的解为（1?4：(1?x)ydx?(1?y)xdy?01?x1?y解：由y?0或x?0是方程的解，当xy?0时，变量分离dx?dy?0xy两边积分lnx?x?lny?y?c,即lnxy?x?y?c,故原方程的

常微分方程 习题2.2

求下列方程的解 1．

dy

dx

=y sinx 解： y=e dx( sinxe dx

dx c)

=ex[-

12e x

(sinx cosx)+c] =c ex-1

2

(sinx cosx)是原

方程的解。 2．

dx

dt

+3x=e2t 解：原方程可化为：

dx

=-3x+e2tdt

所以：x=e 3dt

(

e

2t

e

3dt

dt c) =e 3t (1

e5t5+c)

=c e 3t+1

e2t5

是原方

程的解。

3．

ds

dt

=-scost+12sin2t

解：s=e costdt( 1

2

sin2te 3dtdt c )

=e sint( sintcostesintdt c) = e sint(sintesint esint c) =ce sint sint 1 是原方程的解。 4．

dydx x

n

y exxn ， n为常数. 解：原方程可化为：dydx x

n

y exxn

n

n

y e

xdx

( exxn

e

xdx

dx c)

xn(ex c) 是原方程的解.

5．

dydx+1 2x

x

2y 1=0 解：原方程可化为：dydx=-1 2x

x

2y 1

x 1 2xy e

2x

2

dx

(e

1x2

dx

dx c)

2 e

(lnx 1

常微分方程 习题2.2

求下列方程的解 1．

dy

dx

=y sinx 解： y=e dx( sinxe dx

dx c)

=ex[-

12e x

(sinx cosx)+c] =c ex-1

2

(sinx cosx)是原

方程的解。 2．

dx

dt

+3x=e2t 解：原方程可化为：

dx

=-3x+e2tdt

所以：x=e 3dt

(

e

2t

e

3dt

dt c) =e 3t (1

e5t5+c)

=c e 3t+1

e2t5

是原方

程的解。

3．

ds

dt

=-scost+12sin2t

解：s=e costdt( 1

2

sin2te 3dtdt c )

=e sint( sintcostesintdt c) = e sint(sintesint esint c) =ce sint sint 1 是原方程的解。 4．

dydx x

n

y exxn ， n为常数. 解：原方程可化为：dydx x

n

y exxn

n

n

y e

xdx

( exxn

e

xdx

dx c)

xn(ex c) 是原方程的解.

5．

dydx+1 2x

x

2y 1=0 解：原方程可化为：dydx=-1 2x

x

2y 1

x 1 2xy e

2x

2

dx

(e

1x2

dx

dx c)

2 e

(lnx 1