直线与圆锥曲线相交的弦长

圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题：

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，abab且e?6，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， 3⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a?b?8，………①

22c22622 又e?，即2?，所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?， 代入椭圆C的方程，化简得，5x?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26， 5由弦长公式，得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?， 55即弦

圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题：

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，abab且e?6，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， 3⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a?b?8，………①

22c22622 又e?，即2?，所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?， 代入椭圆C的方程，化简得，5x?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26， 5由弦长公式，得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?， 55即弦

直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线相交的弦长公式 ①AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2（两点之间的距离）

②AB?1?k2?x2?x1?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ③AB?1?1?y2?y1?(1?1)?[(y1?y2)2?4y1y2] 22kk一、已知双曲线方程和直线方程求弦长

y2??1的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB，求AB；⑵?F2AB的面积（F2为例1、 过双曲线x?632双曲线的右焦点）。

y2?1截得的弦长； 1、求直线y?x?1被双曲线x?42

2、过双曲线16x?9y?144的右焦点作倾斜角为

1 / 8

22?的弦AB，求弦长AB； 3

x2y2??1截得的弦长为25，求直线L的方程； 3、已知斜率为2的直线L被双曲线54

4、过双曲线x2?y2?1的左焦点F2，作倾斜角为（1）弦长AB

（2）△?F1AB的周长（F2为双曲线的右焦点）

二、已知弦长求双曲线方程

5、 已知焦点在x轴上的双曲线上一点P，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线y?x?2被双曲线截得的弦长为202，求此双曲线的标准方程．

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题

x2y2

1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 例1 过椭圆

164

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2 16 0

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

xx8(2k2 k)1 2 4k2

1

， x2 又M为AB的中点，所以

1 x24(2k2 k)

4k2 1

2， 解得k 1

2

，

故所求直线方程为x 2y 4 0。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点， 所以x1 x2 4，y1 y2 2，

又A、B两点在椭圆上，则x2

1 4y2

2

2

1 16，x2 4

2012直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

1．(2011·聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( ) A．所有的直线都有倾斜角和斜率

B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角 [答案] B

[解析] 所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率．

2．已知直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则( )

A．b>0，d<0，a0，a>c [答案] C

11bd

[解析] 由图像可知－>－>0，－<0，－>0，从而c0.

acac

3．若直线2ax＋by＋4＝0(a、b∈R)始终平分圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是( )

A．(－∞，1] C．(0,1) [答案] A

[解析] 由题意知直线过圆心(－1，－2)， ∴－2a－2b＋4＝0，∴a＋b＝2， a＋b?a＋b?－2ab

∴ab≤＝，∴ab≤1.

22

4．已知直线l1∶y＝x，l2∶ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0，内变动时，a的取值范围是( )

A．(

3，1)∪(1，3) 3

B．(

8.9 直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

x2y2

1．AB为过椭圆2＋2＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为( )

ab A．b2

B．ab

C．ac

D．bc

1 解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.

2 答案：D

2．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( ) A．1 B．1或3 C．0 D．1或0

??y＝kx＋2，

解析：由?2

?y＝8x，?

得ky－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0解得

2

2

k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1. 答案：D

x2y22

3．已知椭圆C的方程为＋2＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是

16m2

椭圆的右焦点F，则m的值为( ) A．2

B．22

2

2C．8

2 D．23

2

解析：根据已知条件c＝16－m，则点(16－m，

216－m216－m2

∴＋＝1可得m＝22.

162m2 答案：B

x2y2

16

第32练 直线与圆锥曲线的综合问题

[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.

常考题型精析

题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用

x2y2例1 (1)(2015·福建改编)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为

ab4

M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，5则椭圆E的离心率的取值范围是________________.

x2y22

(2)设焦点在x轴上的椭圆M的方程为＋2＝1 (b>0)，其离心率为.

4b2①求椭圆M的方程；

②若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？

直线与圆锥曲线的位置关系

圆锥曲线的几种常见题型

（1）直线与圆锥曲线位置关系的判定； （2）求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法:

设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)AB?______________________. （3）圆锥曲线的弦中点问题的解法:

（4）解析几何中的最值和定值的方法： 【热身练习】

1、方向向量为a?(?1,?2)且与抛物线y?x2相切的直线的方程是______________。 2、“a=b”是“直线y?x?2与圆(x?a)2?(y?b)2?2相切”的______________条件。

x2y2??1内一点M(1,1)的直线交椭圆于A,B两点，且满足AM?MB，则该直线的方程3、过椭圆

164_________。

4、直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为______________.

5、等轴双曲线C：x2?y2?1的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是________________。

6、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是_____________

沂水县第三中学高三数学组集体备课 集思广益 群策群力

直线与圆锥曲线的位置关系（文） 主备人：贺可勤 记录人：宋树霞

一、教材分析

本节课是平面解析几何的核心内容之一.在此之前,学生已学习了直线的基本知识,圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质,这为本节复习课起着铺垫作用.本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》第二轮复习的第一节课,着重是教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化学生的解题思维,提高学生解题能力.这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础.这节复习课还是培养学生数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一. 二、考情分析

本节内容在高考中的地位:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. 三、数学思想方法分析

本节复习课在教学中力图让学生动手

直线与圆锥曲线的综合问题

一.知识体系小结

1．圆锥曲线的标准方程?x?acos?x2y2(参数方程，其中?为参数)；?1?椭圆：焦点在x轴上时2?2?1(a?b?0)??ab?y?bsin?22yx 焦点在y轴上时2?2?1(a?b?0)．abx2y2y2x2?2?双曲线：焦点在x轴上：2?2?1(a?0，b?0)；焦点在y轴上：2?2?1(a?0，b?0)．abab22?3?抛物线：开口向右时，y?2px(p?0)，开口向左时，y??2px(p?0)，开口向上时x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)．2．常用曲线方程设法技巧x2y2x2y2?1?共焦点的设法：与椭圆2?2?1有公共焦点的椭圆方程为2?2?1；aba??b??2222xyxy与双曲线2?2?1有公共焦点的双曲线方程为2?2?1；a2ba2??2b??2xyxy2与双曲线??1共渐近线的双曲线方程为???(??0)；??2222abab?3?中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2?ny2?1；?4?不清楚开口方向的抛物线设法：焦点在x轴上，y2?mx(m?0)； 焦点在y轴上，x2