2010高中数学全国联赛

高中数学竞赛训练题

1．设全集I={(x,y)|x,y∈R}，集合M=?(x,y)??y?3??1?，N={(x，y)|y≠x+1}，那么CIM∩CIN等于x?2?D．{(x，y)|y=x+1}

（ ）

A．?

B．{(2，3)}

C．（2，3）

2．函数f(x)=log1（x2-2x-3）的单调递增区间是（ ）

2A．（-≦，-1） B．（-≦，1） C．（1，+≦） D．（3，+≦）

23．设全集是实数集，若A={x|

A．{2}

B．{-1}

x?2≤0}，B={x|10x

C．{x|x≤2}

?2=10x}，则A∩B是（ ） D．?

4．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a2}，当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样

的（A，B）对的个数有（ ）

A．8 B．9 C．26 D．27

5．若非空集事A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?A∩B成立的所有a的集合是（ ） A．{a|1≤a≤9} 6．函数f(x)?B．{a|6≤a≤9}

C．{a|a≤9}

D．?

xx?（ ）

1?2x2

B．是奇函数但不是偶函数

高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是： 1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理； 三角形旁心、费马点、欧拉线； 几何不等式； 几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转； 圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式； 第二数学归纳法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用； 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理； 函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。 3．初等数论

高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是： 1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理； 三角形旁心、费马点、欧拉线； 几何不等式； 几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转； 圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式； 第二数学归纳法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用； 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理； 函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。 3．初等数论

全国高中数学联赛模拟试题(十)

一、选择题：(每小题6分，共36分)

1、设集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M N使对任意的x M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是

(A)45 (B)27 (C)15 (D)11

2、已知sin2q=a，cos2q=b，0 q ，给出值的五个：

① ; ② ; ③ ; ④ ;

⑤ .

其中正确的是：

(A)①②⑤ (B)②③④(C)①④⑤ (D)③④⑤

1/ 8

3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

(A)64 (B)66 (C)68 (D)70

4、递增数列1,3,4,9,10,12,13, ，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为

(A)729 (B)972 (C)243 (D)981

5、 (其中，[x]表示不超过x的最大整数)的值为

(A) (B) (C) (D) 6、一个五位的自然数称为凸数，当且仅当它满足a b c，c d e(如12430，13531等)，则在所有的五位数中凸数的个数是

(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134

二、填

2010年浙江省高中数学竞赛试卷

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1．

cos4x sin4x sin2xcos2x

化简三角有理式6的值为（ ） 622

sinx cosx 2sinxcosx

2

若p:(x x 0,q:x 2，则p是q的（ ）

A. 1 B. sinx cosx C. sinxcosx D. 1+sinxcosx

2．

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．

集合P={xx R,x 3 x 6 3}，则集合CRP为（ ） A. {xx 6,或x 3} B. {xx 6,或x 3}

C. {xx 6,或x 3} D. {xx 6,或x 3} 4．

设a,b为两个相互垂直的单位向量。已知OP=a，OQ=b，OR=ra+kb.若△PQR为等

边三角形，则k，r的取值为（ ） A

．k r

111 ,r B

．k

2221 1 1r D

．k 222

C

．k r

2010年全国高中数学联赛

江西省预赛试题

（考试时间：9月24日上午8:30-11:00）

一．填空题（共8题，每题10分，合计80分）

1．设多项式f(x)满足：对于任意x?R，都有f(x?1)?f(x?1)?2x2?4x,则f(x)的最小值是＿＿＿＿＿＿.

2．数列{an},{bn}满足：akbk?1,k?1,2,?,已知数列{an}的前n项和为An?列{bn}的前n项和Bn?＿＿＿＿＿＿.

n，则数n?11?x23．函数f(x)?的值域是＿＿＿＿＿＿.

x?24．过抛物线y2?8x的焦点F,作一条斜率为2的直线l，若l交抛物线于A,B两点，则?OAB的面积是＿＿＿＿＿＿.

sinA?cos(A?B)，则tanA的最大值为＿＿＿＿5.若?ABC为锐角三角形，满足

sinB＿＿.

6.若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.

7.将1,2,?,9随机填入右图正方形ABCD的九个格子中，则其每 行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率

p?＿＿＿＿＿＿.

8.将集合M?{1,2,?12}的元素分成不相交的三个子集：M?A?B?C，其中，且ak?A?{a1,a2,a3,a4}B?{b1,b2,b3,b4}C?

2010全国高中数学联赛模拟试题（一）

一、 选择题：（每小题6分，共36分） 1、

方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是

（A）1 （B）3 （C）4 （D）5 2、

x2函数y?（x∈R，x≠1）的递增区间是

x?1（A）x≥2 （B）x≤0或x≥2 （C）x≤0 （D）x≤1?2或x≥2 3、

过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为 （A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0 4、

??

若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在?0,??上有两个不同的实数解x，则

?2?

参数a的取值范围是

（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、

数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是

（A）42 （B）45 （C）48 （D）51 6、

在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3

＜a4，a4＞a5的

2012年全国高中数学联赛成绩公布

2012年全国高中数学联赛成绩已经揭晓，有5位同学获全国三等奖；有7位同学获省一等奖，11位同学获省二等奖，18位同学获省三等奖；有49位同学获市一等奖，98位同学获市二等奖，135位同学获市三等奖。有62位辅导教师被评为市优秀辅导员。现将名单公布如下，以资鼓励。

优秀辅导员（62名）

申利民（肇庆中学） 俞洪升（肇庆中学） 易增平（肇庆中学） 李小梅（肇庆一中） 罗 成（肇庆一中） 饶 静（肇庆一中） 万永峰（肇庆一中） 周昌斌（肇庆一中） 邓育军（四会中学） 谌俊丽（肇庆中学） 郭慧媛（江口中学） 谢 敏（肇庆中学） 卢成志（肇庆一中） 杨陆均（高要二中） 冼健雄（高要二中） 夏艳梅（高要一中） 龙 彪（香山中学） 梁慧祯（高要一中） 胡明方（新桥中学） 邹桂兰（肇庆中学） 熊 燕（怀集一中） 陈永祥（肇庆一中） 李文君（鼎湖中学） 袁 则（高要一中） 熊晓华（肇庆中学） 彭艳兵（广宁一中） 郑 涯（怀集中学） 冯永健（端州中学） 廖伟东（端州中学） 杨丽娟（端州中学） 萧翠颜（鼎湖中学） 蒙

2012年全国高中数学联赛福建赛区

获奖学生及指导教师名单

奖次 姓 名 李君诚 陈景林 苏肇祺 一 等 奖 （41名） 陈洁锋 吴秉杰 陈景发 黄熹之 赖泽华 林永锋 高登峰 郑予凡 林 楠 蔡宇涵 涂霁原 张 毅 龙岩一中 福州一中 厦门双十中学 南安一中 福建师大附中 泉州七中 福州一中 泉州五中 泉州七中 长乐一中 福州三中 莆田一中 福州一中 福建师大附中 厦门外国语学校 所在学校 指导教师 方秦金 王 欣 赵祥枝 林建源 连信榕 杜成北 王 欣 陈 显 曹东方 刘宇璋 林 风 吴天然 陈德燕 黄振胜 周志伟 奖次 姓 名 郑婉怡 林 坚 吴艺杰 郑延敏 刘淇禄 付祖悦 林梓楠 长乐一中 所在学校 指导教师 刘宇璋 连信榕 徐小平 周 翔 许 波 李 迅 徐小平 刘金星 林 玲 林保平 李 辉 吴铭辉 陈荣海 夏彦婴 宋梅玉 连信榕 叶良清 苏文新 郭艺斌 福建师大附中 厦门一中 厦门一中 厦门双十中学 福州一中 厦门一中 仙游一中 福州一中 三明二中 永定一中 厦门外国语学校 安溪一中 福州一中 福州一中 福建师大附中 安溪一中 安溪一中 福州一中 一 一 等 奖 （4

2002年全国高中数学联赛获奖通知

各县（市）教育局教研室： 各 有 关 学 校：

接省数学会通知，2002年全国高中数学联赛我省有13000余名学生参加。经浙江省数学会、中国数学会2002年全国高中数学联合竞赛组织委员会评定，报浙江省学科竞赛委员会批准，评出全国一等奖45名、二等奖202名（由中国数学会颁发荣誉证书），浙江省一等奖176名、二等奖185名（由浙江省数学会颁发荣誉证书），浙江赛区团体优胜奖10个代表队（由浙江省数学会颁奖）。

嘉兴市有1579名学生参赛，获全国一等奖2名、二等奖19名，浙江省一等奖22名、二等奖9名。嘉兴一中获浙江赛区团体优胜奖。

另由嘉兴市数学会评定嘉兴市一等奖31名、二等奖74名。

注：本次竞赛采用不重复设奖办法，即全国奖高于省级奖、省级奖高于市级奖。嘉兴市全部获奖学生姓名、所在学校、指导老师姓名见附件。

嘉兴市教育局教研室

嘉兴市数学会

嘉兴市教育学会中学数学教学分会

2003年1月

附件：

2002年全国高中数学联赛

嘉兴市获奖名单

团体优胜奖：嘉兴一中 个 人 奖：共158名 序号 学生姓名 1 林 川

2 朱 量

1 许 枞

2 邵元龙

3 严 澄

4 徐震翔

5 王