概率论第一章公式

第一章 概率论基础 第一

事件与样本空间

一 两类现象

1、确定性现象：在一定条件下，必然发生的现象。 2、随机现象：统计规律。 二 随机试验

1、重复性 2、确定性 3、随机性 三 样本空间

?={试验的所有可能结果} 样本点 ω

例1：从编号为1，2，3的球中，有放回地取两次，每次一只，考虑顺序，观察所取到的球。

解：?={11,12,13,21,22,23,31,32,33} 事件A：全有1号球 则 A ={11,12,13,21,31} 四 随机事件

定义：试验的某种结果称为随机事件，简称为事件。 一般用A,B,C表示。

注：1、随机事件通常是样本空间的子集。

2、事件的表示方法：①集合②文字叙述

3、一次试验的结果属于事件A，则称事件A在这次试验中发生。 4、基本事件 {ω} 不可能事件? 必然事件A=? 五 事件的关系与运算

设A,B是?的两个事件

1、包含：A?B 若事件A发生必然导致事件B发生。

2、相等：A=B

3、事件的并：A?B 事件A与B至少有一个发生。 4、事件的交：A?B或AB 事件A与B同时发生。

5、事件的差：A-B=A-(A?B) 事件

第一章 概率论基础 第一

事件与样本空间

一 两类现象

1、确定性现象：在一定条件下，必然发生的现象。 2、随机现象：统计规律。 二 随机试验

1、重复性 2、确定性 3、随机性 三 样本空间

?={试验的所有可能结果} 样本点 ω

例1：从编号为1，2，3的球中，有放回地取两次，每次一只，考虑顺序，观察所取到的球。

解：?={11,12,13,21,22,23,31,32,33} 事件A：全有1号球 则 A ={11,12,13,21,31} 四 随机事件

定义：试验的某种结果称为随机事件，简称为事件。 一般用A,B,C表示。

注：1、随机事件通常是样本空间的子集。

2、事件的表示方法：①集合②文字叙述

3、一次试验的结果属于事件A，则称事件A在这次试验中发生。 4、基本事件 {ω} 不可能事件? 必然事件A=? 五 事件的关系与运算

设A,B是?的两个事件

1、包含：A?B 若事件A发生必然导致事件B发生。

2、相等：A=B

3、事件的并：A?B 事件A与B至少有一个发生。 4、事件的交：A?B或AB 事件A与B同时发生。

5、事件的差：A-B=A-(A?B) 事件

第一章习题

1、选择题

※000、设事件A,B为互不相容事件，且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论一定成立的有

()

(A)、A,B 为对立事件； (B)、A,B互不相容；

(C)、A,B不独立； (D)、A,B相互独立。

※001、若事件A,B同时出现的概率为P(AB)=0，则()

(A)、A,B 不相容； (B)、AB是不可能事件；

(C)、AB=f未必成立； (D)、P(A)>0或P(B)>0。

※002、某射手向同一目标独立的射击5枪，若每次击中靶的概率为0.6，则恰有两枪脱靶

的概率是()

(A)、0.62′0.43 ； (B)、0.63′0.42；

(C)、C520.62′0.43； (D)、C520.63′0.42。

※003、进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在两次成功之前已经失败了

3次的概率为( (A)、4p?(123)

p) ； (B)、4p(1-p)；

563(C)

习题一

（A） 1. 写出下列事件的样本空间：

(1)把一枚硬币连续抛掷两次； (2)掷两颗骰子；

(3)连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； (4)在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数； (5)某城市一天内的用电量．

解 (1)?1?{(H,H),(H,T),(T,T)}，其中H表示正面，T表示反面． (2)

?2?{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

(3)?3?{(H),(T,H),(T,T,H),(T,T,T,H),?}

 (4)?4?{0,1,2,?}  (5)?5?{t,t?0}

2.A,B,C为三个事件，试将下列事件用A,B,C表示出来： (1)仅A发生；(2)均发生；(3)均

1. 写出下列随机试验的样本空间：

1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；

2) 一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时

取出3个球；

3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；

4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：1）设小班共有n个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为x1,x２， xn，则全班平均分为x xi 1ni

n，于是样本空间为

12100niS {0,,, ,}={|i 0,1,2,3, 100n} nnnn

32）所有的组合数共有C5 10种，

S {123,124,125,134,135,145,234,235,245,345}

3）至少射击一次，S {1,2,3, }

4）单位圆中的坐标(x,y)满足x2 y2 1，S {(x,y)|x2 y2 1}

2. 已知A B，P(A) 0.3，P(B) 0.5，求P(A)，P(AB)，P(AB)和P(AB). 解 P(A) 1 P(A) 1 0.3 0.7 P(AB) P(A) 0.3（因为A B）

P(AB) P(B A) P(B) P(A) 0.2

P(AB) P(B) 0.5（因为A B，则B A）

3. 设有

1. 写出下列随机试验的样本空间：

1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；

2) 一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时

取出3个球；

3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；

4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：1）设小班共有n个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为x1,x２， xn，则全班平均分为x xi 1ni

n，于是样本空间为

12100niS {0,,, ,}={|i 0,1,2,3, 100n} nnnn

32）所有的组合数共有C5 10种，

S {123,124,125,134,135,145,234,235,245,345}

3）至少射击一次，S {1,2,3, }

4）单位圆中的坐标(x,y)满足x2 y2 1，S {(x,y)|x2 y2 1}

2. 已知A B，P(A) 0.3，P(B) 0.5，求P(A)，P(AB)，P(AB)和P(AB). 解 P(A) 1 P(A) 1 0.3 0.7 P(AB) P(A) 0.3（因为A B）

P(AB) P(B A) P(B) P(A) 0.2

P(AB) P(B) 0.5（因为A B，则B A）

3. 设有

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第一章 随机事件及其概率（一）

一．选择题

1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A）不可能事件 （B）必然事件 （C）随机事件 （D）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A）A1?{抽到的三个产品全是合格品} A2?{抽到的三个产品全是废品}

（B）B1?{抽到的三个产品全是合格品} B2?{抽到的三个产品中至少有一个废品} （C）C1?{抽到的三个产品中合格品不少于2个} C2?{抽到的三个产品中废品不多于2个} （D）D1?{抽到的三个产品中有2个合格品} D2?{抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A?B不等价的是

《概率论》计算与证明题 32

第一章 事件与概率

1、若A，B，C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)ABC?A；(2)A?B?C?A；(3)AB?C；

(4)A?BC.

2、试把A1?A2???An表示成n个两两互不相容事件的和．

3、若A，B，C，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而C，D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

123nn?14、证明下列等式：（1）Cn； ?2Cn?3Cn???nCn?n2123n?1n?2Cn?3Cn???(?1)nCn?0； （2）Cna?r?r（3）?Cak?rCbk?Caa?. bk?05、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；

《概率论》计算与证明题 32

第一章 事件与概率

1、若A，B，C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)ABC?A；(2)A?B?C?A；(3)AB?C；

(4)A?BC.

2、试把A1?A2???An表示成n个两两互不相容事件的和．

3、若A，B，C，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而C，D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

123nn?14、证明下列等式：（1）Cn； ?2Cn?3Cn???nCn?n2123n?1n?2Cn?3Cn???(?1)nCn?0； （2）Cna?r?r（3）?Cak?rCbk?Caa?. bk?05、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；

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概率论与数理统计吴茗 Email:mwu@ 办公室：六号楼512

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教材：《概率论与数理统计》

李书刚 编 科学出版社《概率论与数理统计》

浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社

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序

言

概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性概率论与数理统计——研究和揭示随 机现象的统计规律性的一门数学学科

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第一章 概率论的基本概念随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型(古典概型) 条件概率 独立性

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§1 随机试验具有以下特点的试验，称为随机试验 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可用字母E表示

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随机实验的例E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；

随机事件

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§2 样本空间、随机事件样本空间1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S; 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为