高中解三角形题型及解题方法

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理

1.角角边

2.边边角

3.与三角公式结合

4.正弦定理与三角形增解的应对措施

5.边化角

6.正弦角化边

二．余弦定理

1.边边边

2.边角边

3.边边角

4.与三角公式结合

5.比例问题

6.余弦角化边

7.边化余弦角

三．三角形的面积公式

1.面积公式的选用

2.面积的计算

3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用

四．射影定理

五．正弦定理与余弦定理综合应用

1.边角互化与三角公式结合

2.与平面向量结合

3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状

4.三角形中的最值问题

(1)最大(小)角

(2)最长(短)边

(3)边长或周长的最值

1

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

2 (4)面积的最值

(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值

(6)基本不等式与余弦定理交汇

(7)与二次函数交汇

六．图形问题

1.三角形内角之和和外角问题

2.三角形角平分线问题

3.三角形中线问题

4.三角形中多次使用正、余弦定理

5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用

6.四边形与正、余弦定理

六．解三角形的实际应用

1.利用正弦定理求解实际应用问题

2.利用余弦定理求解实际应用问题

3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题

一．正弦定理

1.角角边

30,

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三角函数解三角形题型归类

一知识归纳：

（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝ ．

(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . π(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，

180

?180?

?1 rad＝??π?°. ??

1(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr2

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三角函数解三角形题型归类

一知识归纳：

（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝ ．

(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . π(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，

180

?180?

?1 rad＝??π?°. ??

1(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr2

三角函数、解三角形讲义

三角函数

（1）已知sin??m?34?2m?，cos??（????），则tan?? （ ） m?5m?524?2mm?3535A、 B、? C、? D、?或?

m?34?2m12412

（2）若A??0,??,且sinA?cosA?5sinA?4cosA7,则?_______________. 1315sinA?7cosA

（3）已知sin??m，求cos?的值及相应?的取值范围。 (4)

（5）已知角?的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上，则，

cos2??（ ）

A ?

(6）若0＜?＜（ ） （A）

2343 B ? C D

3455?2，-???3?1?，则cos(??)?＜?＜0，cos(??)?，cos(?)?423243233536 （B）? （C） （D）?3399

???)cos2???(7)计算2cos2(??)tan(4的值

A -2 B 2 C-1

三角函数、解三角形讲义

三角函数

（1）已知sin??m?34?2m?，cos??（????），则tan?? （ ） m?5m?524?2mm?3535A、 B、? C、? D、?或?

m?34?2m12412

（2）若A??0,??,且sinA?cosA?5sinA?4cosA7,则?_______________. 1315sinA?7cosA

（3）已知sin??m，求cos?的值及相应?的取值范围。 (4)

（5）已知角?的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上，则，

cos2??（ ）

A ?

(6）若0＜?＜（ ） （A）

2343 B ? C D

3455?2，-???3?1?，则cos(??)?＜?＜0，cos(??)?，cos(?)?423243233536 （B）? （C） （D）?3399

???)cos2???(7)计算2cos2(??)tan(4的值

A -2 B 2 C-1

解三角形三类经典类型

类型一 类型二 类型三

判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一

判断三角形形状

2 2 2

例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C

由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2

c 2

三角形为等腰直角三角形.

例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状.

解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120

A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1

二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形

2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2)

0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2

即三角形为等腰三角形或直角三角形

例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状.

一．解答题（共21小题）

1．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N． （1）在以下结论①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有 _________ ，请选择一个你认为正确的结论进行证明．

（2）若MC=，求BF的长．

2．（2011?聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G

2

重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm） （1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

3．（2010?崇川区模拟）用一副三角板拼成如图①所示的四边形ABCD，其中∠ADC=∠ACB=90°，∠B=60°，AD=DC=cm．若把△ADC的顶点C

安丘一中2011-2012学年高三数学学案 诚者，天之道也；诚之者，人之道也。

课题：解三角形 安丘一中 李钧

目标：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

重点、难点：（1）利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点；（2）常与三角形等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等；（3）在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题。

【课内探究】

题型一：正弦定理、余弦定理的简单应用

〖例1〗在ΔABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC 解答：由已知得coAs?b?c?2bc2222a>c>b,∴A

2为最大角。由余弦定理得：1232a3?5??2??37??52。又∵

0?A??1?A8?。 0??A,??1?方法一：由正弦定理得

asinA?csinC，∴sinC?csinAa5??32?53714，因此最

大角A为120?，sinC?531422。

方法二：cosC?a?b?c2ab2?7?3?52?7?35314222?1114。∵C为三角形的内角，∴C为锐

角。sinC=1?cosC?21

必修五解三角形章节总结与题型

章末整合提升

知识梳理

abc

1.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R，其中R是三角形外接圆半径.

b2 c2 a2

222222

2bc. 2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=

111a b c

S(S a)(S b)(S c)23.S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB,S△==Sr(S=,r为abc

内切圆半径)=4R(R为外接圆半径).

4.在三角形中大边对大角，反之亦然.

5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式

CCA BA B

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2=sin2,sin2=cos2

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

必修五解三角形章节总结与题型

(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型

abc

(1)已

专题四 三角函数及解三角形

一 角的概念及相关定义

1. 终边相同的角 与?（0°≤?<360°）终边相同的角的集合（角?与角?的终边重合）:

??|??k?360??,k?Z?

?2. 角度与弧度的互换关系：360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 扇形弧长公式???r，扇形面积公式S??R?R2|?|，其中?为弧所对圆心角的弧

1212度数。

例子：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 4.三角函数定义:

利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在

，记?终边上任取一点P(x,y)（与原点不重合）

r?|OP|?x2?y2，

则sin??y，cos??x，tan??y。

rrx注: ⑴三角函数值只与角?的终边的位置有关，由角?的大小唯一确定,?三角函数是以角

为自变量,以比值为函数值的函数.

例子：已知角?的终边经过点P(5，－12)，则 sin??cos?的值为＿＿。 5.三角函数线

正弦线:MP;余弦线:OM;正切线:AT 例子：1.若?为锐角，则?,sin?,tan?的大小 关系为_______

2.函数y?1?2cosx?l