旋转曲面的面积极坐标
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旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的:理解微元法的基本思想和方法,掌握旋转曲面的面积计算公式. (二) 教学内容:旋转曲面的面积计算公式. 基本要求:掌握求旋转曲面的面积的计算公式,包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积;掌握平面曲线的曲率的计算公式. (三) 教学建议: 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式,掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积. ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积,体积,弧长,物理中的功,引力等等的量,关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的:设所求量 是一个与某变量(设为x)的变化区间 有关的量,且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n个小区间,并把其中一个代表性的小区间记坐 , 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值(做这一步的时候,经常画出示意图帮助思考),如果能够找到 的形如 近似表达式(其中 为 上的一个连续函数在点x处的值, 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ,即 dU?f(x)dx 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分,就得到所求量 的积分表达式: b?f(x
旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的:理解微元法的基本思想和方法,掌握旋转曲面的面积计算公式. (二) 教学内容:旋转曲面的面积计算公式. 基本要求:掌握求旋转曲面的面积的计算公式,包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积;掌握平面曲线的曲率的计算公式. (三) 教学建议: 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式,掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积. ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积,体积,弧长,物理中的功,引力等等的量,关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的:设所求量 是一个与某变量(设为x)的变化区间 有关的量,且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n个小区间,并把其中一个代表性的小区间记坐 , 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值(做这一步的时候,经常画出示意图帮助思考),如果能够找到 的形如 近似表达式(其中 为 上的一个连续函数在点x处的值, 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ,即 dU?f(x)dx 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分,就得到所求量 的积分表达式: b?f(x
D10.5 对坐标的曲面积分
高等数学(2)标准化作业—22 班级 姓名 学号
第五节 对坐标的曲面积分
一、填空题
1.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场为
?????????????v(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k,?为速度场中一片有向曲面,则
单位时间内通过?流到指定侧的流量
?=??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy.
?2.设?是z?x2?y2在0?z?1之间部分的外侧表面,则
??R(x,y,z)dxdy=???R?x,y,x2?y2?D?dxdy,D2xy:x?y2?1,
xy??P(x,y,z)dydz=?????P?z2?y2,y,z??P??z2?y2,y,z?D???yz?dydz,
Dyz:0?z?1,?z?y?z,
??Q(x,y,z)dzdx==?Qx,z2?x2,z?Qx,?z2?x2,z?dzdx ???D???????xz?Dxz:0?z?1,?z?x?z.
(化为二重积分) 二、计算题
1.设?是x?y?z?1被三个坐标面所截第一卦限部分的上侧, 求
极坐标常见题型
极坐标常见题型
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
互化条件:极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,长度单位相同.
??2?x2?y2?x??cos??互化公式:? 或 ? yy??sin???tan??(x?0)x?θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?,???4sin?. (I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(II)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(I)x??cos?,y??sin?,由??4cos?得?2?4?cos?.所以x2?y2?4x. 即x2?y2?4x?0为⊙O1的直角坐标方程. 同理x2?y2?4y?0为⊙O2的直角坐标方程.
?x2?y2?4x?0?x1?0?x2?2(II)解法一:由?2解得,? ?2?y1?0?y2??2?x?y?4y?0即⊙O1,⊙O2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.
?x2?y2?4x?0解法二: 由?2,两式相减得-4x-4y=
极坐标常见题型
极坐标常见题型
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
互化条件:极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,长度单位相同.
??2?x2?y2?x??cos??互化公式:? 或 ? yy??sin???tan??(x?0)x?θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?,???4sin?. (I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(II)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(I)x??cos?,y??sin?,由??4cos?得?2?4?cos?.所以x2?y2?4x. 即x2?y2?4x?0为⊙O1的直角坐标方程. 同理x2?y2?4y?0为⊙O2的直角坐标方程.
?x2?y2?4x?0?x1?0?x2?2(II)解法一:由?2解得,? ?2?y1?0?y2??2?x?y?4y?0即⊙O1,⊙O2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.
?x2?y2?4x?0解法二: 由?2,两式相减得-4x-4y=
§2.2 曲面的方程
§2.2 曲面的方程
一、普通方程
如果一个方程F(x, y, z) = 0或z=f (x, y) 与一个曲面?有着关系:(1) 满足方程的(x, y, z)是曲面?上点的坐标;(2) 曲面?上的任何一点的坐标(x, y, z)满足方程,则方程F(x, y, z)=0叫做曲面?的普通方程,而曲面?叫做方程F (x, y, z)=0的图形.
二、参数方程
1.设在两个变数u, v的变动区域内定义了双参数矢函数
= (u, v) 或 (u, v)=x(u, v)
+y(u, v)
+z(u, v)
,
其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是变矢(u, v)的分量,它们都是变数u, v的函数,当u, v取遍变动区域的一切值时,径矢
= (u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)
的终点M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所画成的轨迹,一般为一张曲面.
2. 如果取u, v (a≤u≤b, c≤v≤d)的一切可能取的值,径矢
(u, v)的终点M总在一个曲面上;反过来,在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢, 而这径矢可由u, v的值(a≤u≤b, c≤v≤d)通过
(u, v)=x(
§2.2 曲面的方程
§2.2 曲面的方程
一、普通方程
如果一个方程F(x, y, z) = 0或z=f (x, y) 与一个曲面?有着关系:(1) 满足方程的(x, y, z)是曲面?上点的坐标;(2) 曲面?上的任何一点的坐标(x, y, z)满足方程,则方程F(x, y, z)=0叫做曲面?的普通方程,而曲面?叫做方程F (x, y, z)=0的图形.
二、参数方程
1.设在两个变数u, v的变动区域内定义了双参数矢函数
= (u, v) 或 (u, v)=x(u, v)
+y(u, v)
+z(u, v)
,
其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是变矢(u, v)的分量,它们都是变数u, v的函数,当u, v取遍变动区域的一切值时,径矢
= (u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)
的终点M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所画成的轨迹,一般为一张曲面.
2. 如果取u, v (a≤u≤b, c≤v≤d)的一切可能取的值,径矢
(u, v)的终点M总在一个曲面上;反过来,在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢, 而这径矢可由u, v的值(a≤u≤b, c≤v≤d)通过
(u, v)=x(
极坐标与直角坐标的转化
第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化
一、 教学目标
掌握极坐标与直角坐标的互化
二、教学重点
对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用
三、教学难点
极坐标与直角坐标的互化的运用
四、教学过程
1. 创设情境引入
T:上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子.
假设点M 在平面直角坐标系中的的坐标为(),x y ,现在以直角坐标的原点作为极点, ox 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点M 的极坐标为(),ρθ
则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系:
cos sin x y θθ
ρρ??=??=?(这里注意解释点M 在不同象限也是成立的)
ρ,tan (0)y x x
θ=≠ 这里规定:0,02ρθπ≥≤<
T:于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系,根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。
T:但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提?
T:(1)极坐标的极点和直角坐标的原点相同;
(2)而极坐标的极轴与直角坐标的x正半轴要相同;
(3)两坐标取相同的长度单位。
否则不能用上面的换算公式。
根据上面的换算公式来解一下例1
例1.(1)把点M 的极坐标)3
2,
坐标旋转推导
旋转坐标公式推导
x' cos y' sin
其中 sin x cos y x,y表示物体相对于旋转点旋转 的角度之前的坐标,x',y'表示物体逆时针旋转 后相对于旋转点的坐标
从数学上来说,此公式可以用来计算某个点绕着另外一点旋转一定角度后的坐
,,,,,cd, 标,例如:A(x,y)绕B(a,b)旋转 角度后的位置为C(c,d),则xyab
有如下关系式:
1.设A点旋转前的角度为 ,则旋转(逆时针)到C点之后角度为
2.求A,B两点的距离:dist1=|AB|=y/Sin( ) x/Cos( )
3.求C,B两点的距离:dist2=|CB|=d/Sin( ) c/Cos( )
4.显然dist1=dist2,设dist1=R所以:
R=y/Sin( ) x/Cos( ) d/Sin( ) c/Cos( )
5.由三角函数两角和差公式知:
旋转坐标公式推导
n ) Si(
s ) Co(
所以得出:
S(i n)C(o s)C ( o)sC ( o)s C(o )s (S i)n SinSin
c=RCos( ) RCos( )Cos( ) RSin( )Sin( ) xCos( ) ySin(
2013极坐标、参数方程资料
2013极坐标、参数方程
5、选修44:-坐标系与参数方程
极坐标系中,已知圆心C (3,)6π
,半径r=1.
(1)求圆的极坐标方程;(2)若直线为参数)t t y t x (21231???
????=+-=与圆交于B A ,两点,求AB 的中点M 与点P (-1,0)的距离.
(1、1)23(23322=-+???
? ??-y x 2
、1232t t PC +==+
解:(1)由已知得圆心)6sin 3,6cos 3(π
πC ,半径1,圆的方程为1)23(23322=-+???
? ??-y x 2分 即0833322=+--+y x y x 所以极坐标方程为08sin 3cos 332=+--θρθρρ 5分
(1)
把直线方程代入圆方程得26)90,30t t -++=?=> 7分 设21,t t 是方程两根
126)t t ∴+=-
所以1232t t PC +=
= 10分
5、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的参
数方程为
cos,
sin,
x t
y t
α
α
=
?
?
=
?
(t为参数,α为直线l的倾斜角)。圆C的极坐标方程为
28cos120.
ρρθ
-+=
(1)若直线l与圆C相切,求α的值;
(2)若