染色问题公式

高中数学竞赛讲座二试内容19

染色问题 （一）

一．基本方法

染色问题的本质是对集合的元素进行分类的问题，染色可以使分类更直观、更形象．

染色问题主要有两类：一类使借助染色方法解决问题；二类是问题的条件是用染色的方式给出的．常

见的染色问题有对区域的染色（包括对方格，三角形的染色），对线段的染色，对点的染色．常用思想方法是整体思想，抽屉原理，考虑极端情形，数学归纳法，构造思想等． 二．例题精选

（一）．k染色平面问题

将平面上的点用不超过k种颜色给每一个点染一种颜色，这样的平面叫做k染色平面．

１．坐标平面上若干个整点，将一些整点染红色，一些染蓝色，证明：总可以有一种染法使每行、每列两

种颜色点数之差不超过１．

R B R R B B R B B R B R B R R B R B R B

R B R B R

B R B R B

２．对于任意的a>0，二染色平面上必存在斜边长为a且内角分别为30?,60?,90?的三顶点同色的三角形．

B B

Ｒ a Ｒ

３．将平面上每一个点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，

B B 它们相似比为１９９５，而且每个三角形的三个顶点同色．

1

B B R RR

高中数学竞赛讲座二试内容19

染色问题 （一）

一．基本方法

染色问题的本质是对集合的元素进行分类的问题，染色可以使分类更直观、更形象．

染色问题主要有两类：一类使借助染色方法解决问题；二类是问题的条件是用染色的方式给出的．常

见的染色问题有对区域的染色（包括对方格，三角形的染色），对线段的染色，对点的染色．常用思想方法是整体思想，抽屉原理，考虑极端情形，数学归纳法，构造思想等． 二．例题精选

（一）．k染色平面问题

将平面上的点用不超过k种颜色给每一个点染一种颜色，这样的平面叫做k染色平面．

１．坐标平面上若干个整点，将一些整点染红色，一些染蓝色，证明：总可以有一种染法使每行、每列两

种颜色点数之差不超过１．

R B R R B B R B B R B R B R R B R B R B

R B R B R

B R B R B

２．对于任意的a>0，二染色平面上必存在斜边长为a且内角分别为30?,60?,90?的三顶点同色的三角形．

B B

Ｒ a Ｒ

３．将平面上每一个点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，

B B 它们相似比为１９９５，而且每个三角形的三个顶点同色．

1

B B R RR

16染色问题

染色是将一组对象进行分类的一种直观描述. 例如，我们将集合A中的一部分元素染成红色，另一部分元素染成兰色，再把剩下的元素全染成黄色，这时我们就把集合的元素分成了红、蓝、黄三类.由于这种描述方法形象直观，因而在竞赛数学中得到广泛的应用. 下面我们主要讨论图的染色、平面染色及网格染色问题. 1．基本原理

为了说话方便，我们作如下约定：若将图G的边用k种颜色染，每条边恰染一种颜色，则把这种染色图称为k染色图.若将图G的顶点用k种颜色染，每个顶点恰染一种颜色，则把这种染色图称为k顶点染色图. 若将平面上的点用k种颜色染，每个点恰染一种颜色，则把这种染色平面称为k染色平面.若将m?n的棋盘的?m?1??n?1?个格点用k种颜色染，每个格点恰染一种颜色，则把这种染色的棋盘称为k染色的网格.需要说明的是，将一组对象用k种颜色染色时，并不要求染色完后每种颜色的对象都要出现. 另外，我们还约定：在对图的边染色之后，边的颜色全相同的r阶完全子图称为同色kr，同色k3又称为同色三角形.

定理1 二染色的k6必有同色三角形. 完全图k5可以二染色使其不含同色三角形. 二染色的k5不含同色三角形的充要条件是k5由2个颜色相异的长为5的同色圈构成.

证

第十一讲：染色与操作问题

一、染色问题

这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.

二、操作问题

实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

模块一、染色问题

【例 1】 六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个

位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？

【解析】 划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色

座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．

【巩固】 右图是某一湖泊的平面图，图

数学行程问题公式大全

行程问题公式

行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

基本公式 路程＝速度×时间；

路程÷时间=速度；

路程÷速度=时间

关键问题 确定行程过程中的位置路程 相遇路程÷速度和=相遇时间 相遇路程÷相遇时间= 速度和

相遇问题（直线）

甲的路程+乙的路程=总路程

相遇问题（环形）

甲的路程 +乙的路程=环形周长

追及问题 追及时间＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及时间

路程差＝追及时间×速度差

追及问题（直线）

距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间 追及问题（环形）

快的路程-慢的路程=曲线的周长

流水问题

顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间

逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间

数学行程问题公式大全

顺水速度=船速＋水速

逆水速度＝船速－水速

静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2

水速：（顺水速度－逆水速度）÷2

解题关键 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。

流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行

牛吃草问题概念及公式

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

1) 设定一头牛一天吃草量为“1”

1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的

我来一一解答你的疑问：

1.“做大鼠皮下HE染色后可以观察炎症细胞及其他细胞的存在情况吗？” 答：HE 染色，即苏木精 — 伊红染色法，苏木精染液为碱性 ，主要使细胞核内的染色质与胞质内的核糖体着紫蓝色 ；伊红为酸性染料 ，主要使细胞质和细胞外基质中的成分着红色 。HE染色后是可以观察炎症细胞及其他细胞的存在情况，因为炎症细胞有自身的特点，通常细胞核较大，核质比大，H&E染色后，细胞核被苏木精染成鲜明的蓝色，细胞浆被伊红染成深浅不同的粉红色至桃红色，胞浆内嗜酸性颗粒呈反光强的鲜红色。因此，H&E染色，尤其在400倍放大的情况下，可以明显看到一个个以蓝色为主的点状的炎症细胞（主要是中性粒细胞、淋巴细胞和单核细胞），而其他细胞则体积较大，细胞质较多成粉红色，细胞核较小，呈蓝色或深蓝色。

2. “通过HE染色观察我的材料是否对皮下组织产生炎症反应，那么HE的结果包括哪些呢？”

答：通过HE染色来评价是否有炎症反应以及炎症反应的强弱，通常有两种方法：炎症细胞浸润区域的面积大小和高倍视野下平均炎症细胞的数量。1）H&E染色，在400倍下，是可以观察到明显的炎症细胞的，故可知道你的材料是否对皮下组织产生炎症反应；2）HE的结果通常用炎症细胞浸润区域的面积

两集合问题通解公式

【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人

A.27人 B.25人 C.19人 D.10人

上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高，而画图浪费时间比较多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，下面华图名师李委明给出一个通解公式，希望对大家解题能有帮助： 满足条件一的个数+满足条件二的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数

例如上题，代入公式就应该是：40+31-x=50-4，得到x=25。我们再看看其它题目：

【国2004A-46】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少

A.22 B.18 C.28

D.26

代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22

练习：

【国2004B-46】某

43、组织中铁质的显色法 44、组织中铜的显色法 罗丹明染色法

1、[试剂配制]：（1）DMAB-罗丹明贮备液：对二甲氨基苄罗丹明饱和于无水乙醇中，贮存液4℃保存。（2）DMAB-罗丹工作液（充分摇动）：DMAB-罗丹明贮备液3ml，蒸馏水47ml，使用前现配现用。 2、[染色步骤]：（1）切片脱蜡至蒸馏水。（2）用DMAB-罗丹明液60℃染色3小时（1小时后显微镜下检查）。（3）用蒸馏水冲洗。（4）对比染色（颜色要浅些）用苏木精染5秒。（5）盐酸乙醇分化。（6）流水冲洗5分钟。（7）脱水，透明，风骨。

3、[结 果]：铜沉积物-砖红色，核-蓝色，胆汁-绿色。 Timm's铜染色法

1、[试剂配制]：（1）液体A：5%硝酸银水溶液，液体B：对苯二酚2.0g，柠檬酸5.0g，蒸馏水100ml，液体可以贮存在4℃暗处一个月。 2、[染色步骤]：（1）石蜡切片脱蜡至水。（2）0.5%硫化铵5min （3）充分水洗。（4）用0.1N盐酸2-3min祛除铁和硫化锌液(15%三氯醋酸也可以使用)。（5）水洗。（6）切片置新鲜1份A液和5份B液过滤后使用，将硫化铜转化为硫化银3min就可以完成。（7）水洗。（8）脱水，透明，封固。

3、[结 果

第十一讲

染色与操作问题

一、染色问题

这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.

二、操作问题

实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

模块一：染色问题

六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？ 1

例题1

【巩固】 右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.

(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？

(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某 的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为 什么？

点B，他穿鞋与脱鞋

【巩固】 某班有45名同学按