量子力学试题及答案

宝鸡文理学院试题

课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7 试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班

注意事项:

1. 所有题目的答卷必须写在答题纸上

2. 证明题和计算题必须写出主要过程

一、填空题 (每小题2分，2×5＝10分)

１、玻尔原子模型的三个假设是（ ）。 ２、波函数的标准条件为（ ）。 ３、正交归一方程umund???mn的狄拉克表示为（ ）。 4、动量表象下的坐标算符表示形式（ ）。

?*?2和L?的共同本征函数为（ ）5、L。 z二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分）

１、?与?对易，则两算符：

(1)有组成完全系的共同本征函数； （2）没有组成完全系的共同本征函数； (3) 不能确定。

２、自由粒子能级的简并度为：

一、 填空题

1．玻尔的量子化条件为 。 2．德布罗意关系为 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．

为归一化波函数，粒子在

方向、立体角

内出现的几率

为 ，在半径为 ，厚度为 为 。

的球壳内粒子出现的几率

6．波函数的标准条件为 。 7．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是 。 10．厄密算符的本征函数具有

量子力学习题

(一) 单项选择题

1.能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A. B. 1.5A. C. 2.1A. D. 2.5A.

2. 能量为0.1ev的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A. B. 0.9A. C. 0.5A. D. 1.8A.

3. 能量为0.1ev，质量为1g的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A. B.1.9?10C.1.17?10?12000000000?12A.

0A. D. 2.0A.

3kBT(kB 为Boltzeman常数)的氦原子的De 20004.温度T=1k时，具有动能E?Broglie 波长是

000 A.8A. B. 5.6A. C. 10A. D. 12.6A.

5.用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n?0,1,2,?）

1 A.En?n??. B.En?(n?)??.

2 C.En?(n?1)??. D.En?2n??.

6.在0k附近，钠的价电子的能量为3ev，其De Broglie波长是 A.5.2A. B

? ? ? ? ? ? ? 第一章 绪论

第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射

第七章 自旋和全同粒子

?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10m?C。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8?h?31 ??d??d?， h?3c ekT?1c c及?? 、d???2d?得 ?? 8?hc1?? ?5， hc?e?kT?1

d?hc令x? ，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? kTxex 5?x e?1

hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?0C ?mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09A p2mE

# 3E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。 1.3. 氦原子的动能为 2 h0hh?10??12.63?10m?12.63A 解：? ??p2mE3mkT ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J

第一章

⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。

⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说：

表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。

表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点：

①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。

②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说：

光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理：

当光射到金属表面上时，能量为 E= hν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电

量子力学习题答案

1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E?h?； p?h/?

由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)??ec2(0.51?10?6)），故： E?P2/(2?e)

??h/p?h/2?eE?hc/?6?92?ecE62

?1.24?10?0.71?10/2?0.51?10?3 m?0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当T?1K时，其能量为 E?于是有

??h/p?h/2?HeE?3432kT?32?1.381?10?23J?K?1?1K?2.07?10?23J

?6.626?102?6.690?10?27J?s?23 ?1.26nmJkg?2.07?10

一维谐振子处于?(x)?Ae??2x/22状态中，其中?为实常数，求：

???1.归一化系数；2.动能平均值。（?解：1.由归一化条件可知：

???e??x22dx??/?）

??(

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）

e?1以及 ?v?c， （2）

?vdv???vd?， （3）

有

dvd??c?d????????v(?)d?

?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

???'8?hc?6?e1hc?kT?hc1??5??hc???kT??kT?1?1?e11?ehc?hc?kT???0 ???? ?5?hc

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）

e?1以及 ?v?c， （2）

?vdv???vd?， （3）

有

dvd??c?d????????v(?)d?

?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

???'8?hc?6?e1hc?kT?hc1??5??hc???kT??kT?1?1?e11?ehc?hc?kT???0 ???? ?5?hc

量子力学习题答案

1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E?h?； p?h/?

由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)??ec2(0.51?10?6)），故： E?P2/(2?e)

??h/p?h/2?eE?hc/?6?92?ecE62

?1.24?10?0.71?10/2?0.51?10?3 m?0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当T?1K时，其能量为 E?于是有

??h/p?h/2?HeE?3432kT?32?1.381?10?23J?K?1?1K?2.07?10?23J

?6.626?102?6.690?10?27J?s?23 ?1.26nmJkg?2.07?10

一维谐振子处于?(x)?Ae??2x/22状态中，其中?为实常数，求：

???1.归一化系数；2.动能平均值。（?解：1.由归一化条件可知：

???e??x22dx??/?）

??(

量子力学的变分法-量子力学的变分法

　　当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。　　
量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

　　若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
　　这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现