相似三角形的性质和判定综合讲义

相似三角形的性质和判定练习

一．选择题（共25小题）

1．（2012?遵义）如图，在△ABC中，EF∥BC，

=，S

四边形BCFE

=8，则S△ABC=（ A ）

A． 9

2．（2012?宜宾）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（ C ）

B． 10 C． 12 D． 13

A． B． C． D． 3．（2012?台湾）如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为何？（ B ）

A． B． C． 5 D． 6 4．（2012?绥化）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（ D ）

A． 2：5：25

B． 4：9：25 C． 2：3：5 D． 4：10：25 5．（2012?陕西）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（ D ）

A． 1：2

6．（2012?日照）在菱形ABCD

个性化辅导讲义

学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师：

相似三角形的性质和应用 课 题 1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程. 2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质. 3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题. 1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质. 2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点. 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 知识框架 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比. 3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三

选修4－1

几何证明选讲

第1讲 相似三角形的判定及有关性质

对应学生203

考点梳理

1．平行线等分线段定理及其推论

(1)定理：那么在其他直线上截得的线段也相等．

(2)推论：②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理及推论

(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)段成比例．

3．相似三角形的判定

(1)定义：如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．

(2)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．

(3)判定定理2 (4)判定定理3 4．相似三角形的性质

(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、(2)性质定理25．直角三角形的射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高， 则有CD2＝AD·BD， AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.

考点自测

1.如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，3

C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝B′C′＝_

选修4－1

几何证明选讲

第1讲 相似三角形的判定及有关性质

对应学生203

考点梳理

1．平行线等分线段定理及其推论

(1)定理：那么在其他直线上截得的线段也相等．

(2)推论：②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理及推论

(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)段成比例．

3．相似三角形的判定

(1)定义：如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．

(2)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．

(3)判定定理2 (4)判定定理3 4．相似三角形的性质

(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、(2)性质定理25．直角三角形的射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高， 则有CD2＝AD·BD， AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.

考点自测

1.如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，3

C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝B′C′＝_

篇一：相似三角形的定义与性质

同学个性化教学设计

年 级： 九年级教 师: 张永慧科 目：数学 班 主 任： 朱敏_ 日 期: _时 段: ___

1 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰

校长签字： ___________日期3 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰

篇二：相似三角形性质

精锐教育学科辅导讲义

篇三：相似三角形的性质 导学案

《相似三角形的性质》 学案

【学习目标】

知识与技能：理解并运用相似三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质解题。 过程与方法：经历探索相似三角形性质的过程，发展逻辑思维能力和应用能力。 情感与价值观：感受数学学习中的推理过程，积极参与推理活动。

【温故知新】

1、相似三角形的判定方法有哪一些？

2、如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB=1：3，则△ADE 与△ABC的相似比为 。 3、已知：△ABC△∽ABC，AB=2cm，BC=3cm，AB=4cm， AC=2cm，则AC= cm， BC=cm。

''

''

'''

''

B

【学习过程】

1、自主学习：两个相似三角形，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．

例如，如图：△ABC和△A′B

24.3.2相似三角形的判定

成比例 相等 对应边——————的两个三 对应角_______, D 角形, 叫做相似三角形 . AC E 6 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F BAB AC BC DE DF EF

F△ ABC∽ △DEF

6

成比例 相似三角形的———————, 各对应边——————。AB BC AC 相似比: DE EF DF

对应角相等

=k k 1 两三角形相似k=1 两三角形全等

判定两个三角形相似时，是不是对所有的对 应角和对应边都要一一验证呢？(类比≌△) 不需要

探究60° 45°

如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的 三个角对应相等，那么它们相似吗？

任意画两个三角形，使三对角分 别对应相等，再量一量对应边， 看看是否成比例. D82° 5 8 51° F

A82° 6 6

4 51° C E

10 47° 12

B 47°

你发现了什么，这两个三角形相似吗？

如果两个三角形三组对应角分别相等， 那么这两个三角形相似。

D82°

A82°

B 47°

C 6 51° E

47°

这是中考的重点,值得好好研究

相似三角形判定方法的综合运用

练习：（学生用）

一、选择题：

1、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（ ） A、2对 B、3对 C、4对 D、5对

2、如图，若点D、E分别在△ABC的边AB、AC上（AB>AC）， 则下列条件不一定能保证△AED∽△ABC的是（ ） A、∠AED=∠B B、∠ADE=∠C C、D、

3

、下列命题中正确的是( )

A 、底角相等的两个等腰三角形相似

B、 一个等腰三角形的一角与另一个等腰三角形的一角相等，这两个等腰三角形相似 C 、一个直角三角形两边与另一直角三角形的两边成比例，这两个直角三角形相似 D、有一条直角边相等的两个直角三角形相似

二、证明题：

1、如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的一点，AE的延长线交BC于F， 求证： ABF∽ EDA。

A

B

C

2、如图，在 ABC中， ACB 2 B，CD平分 ACB，求证：AC2 = AD·AB

DECB

AEAB

ACAD

ABAE

A

D B

F

E C

E

C

D

F

C

这是中考的重点,值得好好研究

3、如图，AE＝AD·AB，且∠1＝∠2，求证：△BCE∽△EBD。

2

三、

《相似三角形的性质》说课稿

各位领导、老师们： 大家好！

今天我讲的是九年级数学下册的“27.2.2相似三角形的性质”一课，用的是人教版九年级数学下册数学教材 。

下面，我分四个部分来汇报我对这节课的教学设计，这就是“教材 分析”、“教学方法与教学手段的选择”、“学法指导”和“教学过程的设计” 一、教材分析 1、教材的地位及作用

“相似三角形的性质”是九年级数学下册“相似形”这章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。它是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的基础，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。 2、教学目标

根据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用，确定本课的教学目标为： （1）知识目标：使学生掌握相似三角形的性质定理1及其证明方法，能运用

相似三角形性质定理解决问题。

（2）能力目标：通过性质定理的推导，培养学生的逻辑推理能力和动手实践

能力。

（3）德育渗透：通过全等三角形和相似三角形的类比学习，树立学生从特殊

到一般的认识规律，通过先实验后归纳再推理强化学生“实践出真知”的求知意识。

3、教学重、难点

因为相似三角形的性质是解

学习目标

1、在理解相似三角形特征的基础上， 掌握相似三角形对应高、对应中线、对 应角平分线、周长、面积的比等性质.

2、通过实践体会相似三角形的性质， 会用性质解决相关的问题.

课前复习:

（1）什么叫相似三角形？

对应角相等、对应边成比例 的三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？

①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.

课前复习:

（3）相似三角形有何特征？

A A/

B

C

B/

C/

①相似三角形的对应角_____________

②相似三角形的对应边______________

想一想: 它们还有哪些性质呢?

情境引入 一个三角形有三条重要线段： 高、中线、角平分线 ________________ 如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？

ABC ∽ A B C

1 相似比为 2

A

（1）

对应高的比

1 AD 2 _ A D __________

B

D

C A′

B′

D

C′

ABC ∽ A B C

1 相似比为 2

A

（2）

对应中线的比

1 AD 2 A D __________ _

B

D

C A′

B′

D

C′

ABC ∽ A B C

1 相似比为 2 对应角平分线的比

A

（3）

1 AD A

相似三角形(3)

一、根据已知，探索图形相似的条件

例题1、 如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形． （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB． （2）当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数．

变式1、在直角三角形中，∠ACB=90°，在△ABC外做一个直角三角形BCD，使∠BDC=90°，设AB=5，BC=3，当CD为多长时，这两个三角形相似？

例题2、（动点问题）如图，在矩形ABCD

中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

变式1如图，在矩形ABCD

中，AB=5cm，BC=10cm，动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ⊥BD？

CQB P

DA

1

变式2．（七中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：⑴∠B＋∠DAC＝90°；

CDAC2⑵∠B＝∠DAC；