高三数学立体几何专题

高三数学 立体几何专题

一、方法总结 高考预测

（一）方法总结

1．位置关系： （1）．两条异面直线相互垂直

证明方法：○1证明两条异面直线所成角为90o；○2证明两条异面直线的方向量相互垂直。 （2）．直线和平面相互平行

证明方法：1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；2证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个○○向量相互平行；○3证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）．直线和平面垂直

证明方法：1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，2证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量○○都垂直；○3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

（4）．平面和平面相互垂直

证明方法：○1证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；○2证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；○3证明两个平面的法向量相互垂直。

2．求距离：

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）．两条异面直线的距离

求法：利用公式d?|AB·n||n|（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，n为这两条异面直线的法向量）

（2）．点到平面的距

高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 空间向量、立体几何

一、大纲解读

立体几何的主要内容是空间几何体，点线面之间的位置关系，空间向量与立体几何．其考查内容主要是空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、两平面的位置关系；异面直线所成的角、二面角、线面角；几何体的表面积和体积、空间几何体的三视图和直观图等.其中线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行与垂直判定定理与性质定理是考查的重点.对于理科生来说，空间向量作为一种新的快捷有效的工具已被广泛应用于解决立体几何综合问题，是高考的焦点所在. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二、高考预测

一般来说立体几何有两个左右的选择题或填空题和一道解答题，约20-25分，占整章试卷的15％. 选择题或填空题考查的是空间几何体和点线面位置关系的基本问题，与三视图相结合考查是一种典型题型；解答题近年已成为一个较为固定的模式，以多面体（少数为旋转题）为载体，考查点线面的位置关系的判断推理，求空间角和距离，求有关最值和体积一般分步设问，难度逐渐增大，但都可以用基本方法解决，理科生要会用空间向量来解决这类问题.

三．重点剖析

立体几何的重点内容是柱锥台球的表面积和体积，空间几何体的三视图和直

2015届高三数学立体几何专题训练

1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．16＋8π C．16＋16π 解析：选A.

B．8＋8π D．8＋16π

原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×21

＋π×22×4＝16＋8π. 2

2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )

500πA. cm3

31 372πC. cm3

3

解析：选A.

866πB. cm3

32 048πD. cm3

3

如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，

11

BM＝AB＝×8＝4(cm)．

22

设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，

4500π

∴V球＝π×53＝ (cm3)．

33

3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )

A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l

高考数学重点专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料

——《立体几何》专题

一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：

二、练习题：

1． 1∥ 2，a，b与 1， 2都垂直，则a，b的关系是

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能

2．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是 A．

1112

V B．V C．V D．V 2343

B1

1 3．设 、 、 为平面， m、n、l为直线，则m 的一个充分条件是

A． , l,m l B． m, , C． , ,m D．n ,n ,m 4．如图1，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中， P、Q是对角

D

高考数学重点专题

a

，则三棱锥P BDQ的体积为 2

333 B

C

D．不确定 A

线A1C上的点，若PQ

5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1Q B

立体几何（5）

81. 有三个几何事实(a，b表示直线，?表示平面)，① a∥b，② a∥?，③ b∥?．其中，a，b在面?外．

用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例． 解析：Ⅰ： a∥b a∥? ?b∥? b在?外 Ⅱ：a∥b

b∥? ?a∥? a在?外

Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行．

证明：过a作平面?与?交于a? ∵ a∥? ∵ a∥a? 而a∥b ∴ b∥a?且b在?外，a?在?内 ∴ b∥?． Ⅲ：a∥?

?a∥b b∥?

命题：平行于同一个平面的两条直线平行，

用心 爱心 专心 1

这是错的，如右图

82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行．

已知：、是两个平面，直线l⊥，l⊥，垂足分别为A、B． 求证：∥思路1：根据判定定理证．

l证法1：过l作平面，

γ Aδ E∩＝AC，∩＝BD， 过l作平面，

∩＝AE，∩＝BF，

? CB? DFl⊥l⊥

?l⊥AC

?l⊥BD

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高考数学专题训练：立体几何（四）

第四次高考训练

一、证明两条直线平行的方法

1、证明直线与直线平行的方法：

（1）、证明直线与平面的判定定理得到直线与平面平行； （2）、根据直线与平面平行的性质定理得到两条直线平行。 2、线与面平行的性质定理：

如果直线与平面平行，那么过这条直线与该平面的交线与这条直线平行。 如下图所示：

因为：直线a//平面?，直线??平面?，平面??平面??直线b； 所以：直线a//直线b。

二、证明两条直线平行的训练

【训练一】：【2015年高考理科数学安徽卷第19题】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AAADD1B1B，1A1，

ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F。

（Ⅰ）证明：EF//B1C

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【分析过程】： 。

【证明

第三讲 四面体和球

一、基本知识点

（一）特殊四面体

【等腰四面体】1．定义：四面体ABCD中，若AB?CD?a,BC?DA?b,CA?BD?c，则四面体ABCD为等腰四面体。设其体积为V，全面积为S 2．性质：（1）V?2(a2?b2?c2)(b2?c2?a2)(c2?a2?b2)； 12（2）等腰四面体各个面为全等的锐角三角形；

（3）等腰四面体的相对棱的中点的连线段共点，且互相平分，每一条连线垂直于相对棱，且是四面体的对称轴；

（4）设等腰四面体的三个侧面间的二面角分别为：?,?,?，则：

abc2S2cos??cos??cos??1,???

sin?sin?sin?3V（5）若四面体的四个面面积相等，则四面体为等腰四面体。

（6）等腰四面体总可以和一个长方体对应起来，其边为长方体相对面的对角线。 【直角四面体】

1．定义：设四面体P?ABC中，PA,PB,PC两两垂直，则称此四面体为直角四面体。 2．性质：设PA?a,PB?b,PC?c，体积为V，内切球和外接球半径分别为r和R，

?PBC,?PCA,?PAB,?ABC的面积分别为S1,S2,S3,S

（1）底面?ABC是锐角三角形，顶点P在面ABC内的射影是?ABC的垂心H，且

立体几何专题(体积)

1.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为c A． 22

B． 23

C． 4

D． 25

分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．

解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别

22222为m,n,k，由题意得m?n?k?7，m?k?6?n?1，

1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6

?a2?b2?8，∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．

2.已知m,n是两条不同的直线，?,?为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m??,n??，m?n，则???；②若m//?,n//?,m?n，则?//?； ③若m??,n//?,m?n，则?//?；④若m??,n//?,?//?，则m?n． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）__①④_____________． 3.设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．若m?n,m??,n//

立体几何

立体几何专题：空间角

第一节：异面直线所成的角

一、基础知识

1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a //a，b //b，相交直线a b 所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： 0,

2

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一

个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式cos cos a,b

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

(x1,y1,z1) (x2,y2,z2) co s

x1x2 y1y2 z1z2

x1 y1 z1

2

2

2

x2 y2 z2

222

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于

斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos 1cos 2 cos 二、例题讲练

C

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，

立体几何专题(体积)

1.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为c A． 22

B． 23

C． 4

D． 25

分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．

解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别

22222为m,n,k，由题意得m?n?k?7，m?k?6?n?1，

1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6

?a2?b2?8，∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．

2.已知m,n是两条不同的直线，?,?为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m??,n??，m?n，则???；②若m//?,n//?,m?n，则?//?； ③若m??,n//?,m?n，则?//?；④若m??,n//?,?//?，则m?n． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）__①④_____________． 3.设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．若m?n,m??,n//