高等代数教案第四章线性方程组

第四章 线性方程组

1． 设A 为n 阶方阵，若2)(-=n A R ，则0=AX 的基础解系所含向量的个数是（ ）。

)(A 0个(即不存在) )(B 1个 )(C 2个 )(D n 个

2．如果n 元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩小于n ，则（ ）。

)(A 方程组有无穷多个解 )(B 方程组有惟一解

)(C 方程组无解 )(D 不能断定解的情况

3．设33)(?=ij a A 满足条件：(1)ij ij A a =(3,2,1,=j i )，其中ij A 是元素ij

a 的代数余子式；(2) 133-=a ；(3) ||1A =，则方程组

b AX =，

T b )1,0,0(=的解是（ ）。

)(A T )2,5,3( )(B T )3,2,1( )(C T )1,0,0(- )(D T )1,0,1(-

4．设A 为n 阶奇异方阵，A 中有一元素ij a 的代数余子式0≠ij A ，则齐次线性方程组0=AX 的基础解系所含向量个数为（ ）。

)(A i 个 )(B j 个 )(C 1个 )(D n 个

第四章 解线性方程组的迭代法

对于阶数不高的方程组，直接法非常有效，对于阶数高，而系数矩阵稀疏的线性方程组却存在着困难，在这类矩阵中，非零元素较少，若用直接法求解，就要存贮大量零元素。为减少运算量、节约内存，使用迭代法更有利。本章介绍迭代法的初步内容。

§1 雅克比法、赛得尔法、超松驰法

1．雅克比（Jacobi ）迭代法

设有n 阶方程组

???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （4.1）

若系数矩阵非奇异，且0≠ii a (i = 1, 2,…, n )，将方程组（4.1）改写成 ()()()

?????

??????----=----=----=--11,221112323122221213132121111111n n n n n n nn n n n n n x a x a x a b a x x a x a x a b a x x a x a x a b a x 然后写成迭代格式 ()()()???????????----=----=

2010智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数（第四章 线性方程组）

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97 第四章 线性方程组

2009考试内容 (本大纲为数学1，数学2-3和农学数学需要根据大纲作部分增删)

线性方程组的克莱姆（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有

解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解

考试要求

1. 会用克莱姆法则。

2. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

3. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

4. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

5. 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

一、 n 元齐次方程组 0AX =(n 为未知数的个数)的解系统

1.1 解的结构

0AX =一定有解。()r A n =有唯一零解；()r A n < 有()n r A -个线性无关的解向量，称为基础解系（它不是唯一的，一般取最简单的整数形式），它构成解的线性空间S （称为解空间），解的空间维度为()()R S n r A =-，它是一个极大无关组，0Ax =的通解都可以由他们线性表出，即

()()()11220 i n R A n R A AX x k k k k x x x --=T=+++L 为不全为零的任意常数

1.2解的性质

若1

讨论线性方程组 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 1, x 1 + 3 x 2 + 6 x 3 + x 4 = 3, 3 x 1 x 2 p x 3 + 15 x 4 = 3, x 1 5 x 2 10 x 3 + 12 x 4 = t 当 p , t取何值时 , 方程组无解 ? 有唯一解 ? 有无穷多解 ? 在方程组有无穷多解的 情 况下 , 求出一般解 .

解

2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B= 3 1 p 15 3 1 5 10 12 t 2 3 1 1 1 4 2 2 0 2 ~ 0 4 p 6 6 0 0 6 9 t 1 12

1 0 ~ 0 0

1 2 3 1 1 2 1 1 0 p+2 2 4 0 0 3 t + 5

(1)当 p ≠ 2时 , R ( A ) = R ( B ) = 4, 方程组有唯一解 ; ( 2)当p = 2时, 有 1 0 B~ 0 0 1

第三章 线性方程组

第一节 线性方程组与矩阵的行等价

一 线性方程组

以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.

定义3.1 多元一次方程组???????=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111称为线性方程组. 方程组有m 个方程, n 个未知数i x (1,2,,i n =), 而ij a (1,2,,i n =;m j ,,2,1 =)是未知数的系数, j b (m j ,,2,1 =)是常数项.

如果0=j b (m j ,,2,1 =), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组. 数组n c c c ,,,21 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数n x x x ,,,21 , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.

定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.

按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此

线性方程组在现实中的应用

线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。 为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.

一、 线性方程组的表示

1.按照线性方程组的形式表示有三种 1）一般形式的表示

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1??a21x1?a22x2?...?a2nxn?b2?...??ax?ax?...?ax?bn22nnnn?n11

2）向量形式：

x1?1?x2?2?...?xn?n??

3）矩阵形式的表示 ：

AX??,A???1,?2,...,?n?X??x1,x2,...,xn?T

?0特别地，当?AX???0时，AX??称为齐次线性方程组，而当?时，

称为非齐次线性方程组

2.按照次数分类又可分为两类 1）齐次线性方程组

用Matlab学习线性代数 线性方程组与矩阵代数

实验目的：熟悉线性方程组的解法和矩阵的基本运算及性质验证。 Matlab命令：

本练习中用到的Matlab命令有：inv，floor，rand，tic，toc，rref，abs，max，round，sum，eye，triu，ones，zeros。

本练习引入的运算有：+，-，*，’，，\\。其中+和-表示通常标量及矩阵的加法和减法运算；*表示标量或矩阵的乘法；对所有元素为实数的矩阵，’运算对应于转置运算。若A为一个n?n非奇异矩阵(det!=0)且B为一个n?r矩阵，则运算A\\B等价于A?1B。 实验内容：

1． 用Matlab随机生成4?4的矩阵A和B。求下列指定的C,D,G,H，并确定那些矩阵是相等的。你可以利用Matlab计算两个矩阵的差来测试两个矩阵是否相等。

（1）C=A*B,D=B*A,G=(A’*B’)’,H=(B’*A’)’ C=H;D=G； （2）C=A’*B’,D=(A*B)’,G=B’*A’,H=(B*A)’ C=H;D=G； （3）C=inv(A*B),D=inv(A)*inv(B),G=inv(B*A),H=inv(B)*inv(A)

（4）

用Matlab学习线性代数 线性方程组与矩阵代数

实验目的：熟悉线性方程组的解法和矩阵的基本运算及性质验证。 Matlab命令：

本练习中用到的Matlab命令有：inv，floor，rand，tic，toc，rref，abs，max，round，sum，eye，triu，ones，zeros。

本练习引入的运算有：+，-，*，’，，\\。其中+和-表示通常标量及矩阵的加法和减法运算；*表示标量或矩阵的乘法；对所有元素为实数的矩阵，’运算对应于转置运算。若A为一个n?n非奇异矩阵(det!=0)且B为一个n?r矩阵，则运算A\\B等价于A?1B。 实验内容：

1． 用Matlab随机生成4?4的矩阵A和B。求下列指定的C,D,G,H，并确定那些矩阵是相等的。你可以利用Matlab计算两个矩阵的差来测试两个矩阵是否相等。

（1）C=A*B,D=B*A,G=(A’*B’)’,H=(B’*A’)’ C=H;D=G； （2）C=A’*B’,D=(A*B)’,G=B’*A’,H=(B*A)’ C=H;D=G； （3）C=inv(A*B),D=inv(A)*inv(B),G=inv(B*A),H=inv(B)*inv(A)

（4）

3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB程序

3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB程序 判定线性方程组Am?nX?b是否有解的MATLAB程序

function [RA,RB,n]=jiepb(A,b)

B=[A b];n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,

disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end

if RA==RB if RA==n

disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') else

disp('请注意：因为RA=RB

例3.1.4 判断下列线性方程组解的情况.如果有唯一解，则用表 3-2方法求解.

?3x1?4x2?5x3?7x4?0,?2x1?3x2?x3?5x4?0,?2x?3x?3x?2x?0,?3x?x?2x?7x?0,1234?1234(1) ? (2) ? ??4x1?11x2?13x3?16x4?0,?4x1?x2?3x3?6x4?0,???7x1?2x2?x3?3x4?0;?x1?2x2?4x3?7x4?0;?4x1?2x2?

线性方程组解法的探究

摘 要线性方程组源自于生活中一些未知元素的一系列特定的关系而转化成的

一组数据关系。对其进行求解可以解决一些方案的设计问题，例如给以新品的开发的多种原料的成分设计提供多种不同的配方。本文将以多种方法对线性方程组求解，并讲诉线性方程组的类别。

关键词

齐次线性方程组 非齐次线性方程组 克拉默（Cramer）法则

Gauss消去法 广义逆矩阵 减号逆矩阵 增广矩阵 矩阵的初等行变换 矩阵的秩

引言

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用迭代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。广义逆的思想可追