经济数学

经济应用典型问题

1．按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2%，半年期存款的年利率为4.0%，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款能有较多的收益，多多少？ 解 (ⅰ)设货币存一年期，则一年后货币总数为：A?1?4.2%? 两个后货币总数：A?1?4.2%??1?4.2%??A?1?4.2%??1.085764A (ⅱ)设货币存半年期，则存半年的利率：2.0% 半年后货币总数：A?1?2.0%?

一年后货币总数：A?1?2.0%??1?2.0%??A?1?2.0%? 一年半后货币总数：A?1?2.0%??1?2.0%??A?1?2.0%?

两年后货币总数：A?1?2.0%??1?2.0%??A?1?2.0%??1.082432A

比较(ⅰ)，(ⅱ)知货币存一年期有较多收益，多0.00333A.

2.某工厂生产某种产品，年产量为x，每台售价250元，当年产量为600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多，本年

经济数学基础形成性考核册

作业（一）

（一）填空题 1.limx?sinxxx?0?_______0________.

x?0x?0?x2?1,2.设f(x)???k,，在x?0处连续，则k?____1____.

123.曲线y?x在(1,1)的切线方程是 y?(x?1) .

4.设函数f(x?1)?x2?2x?5，则f?(x)?_____2x_______. 5.设f(x)?xsinx，则f??()?____?2π?2______.

（二）单项选择题

1. 当x???时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A．ln(1?x) B．

x2?1x2x?1 C．e D．

sinxx

2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.limxx?1 B.lim?x?0xxx?0?1

C.limxsinx?01x?1 D.limsinxxx???1

3. 设y?lg2x，则dy?（ B ）． A．

12xdx B．

1xln10dx C．

ln10xdx D．

1xdx

4. 若函数f (x)在

经 济 数 学 模 型 论 文

谢杜杜 06信管（1）班 2006429020149

我们知道：数学与经济学息息相关，可以说每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。特别是自从诺贝尔经济学奖创设以来，利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势越来越明显。当代西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预测、决策和监控。在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用，在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。 一、经济数学模型的基本内涵

数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法

1．设某产品的价格与销售量的关系为P=10-Q5.

(1) 求当需求量为20及30时的总收益R、平均收益R及边际收益R'. (2) 当Q为多少时,总收益最大？ 解 (1) 由题设可知总收益函数为

R=QP=Q(10-Q5)=10Q-Q25

则

R|Q=20=10?20R|Q=30=10?3020530522=120

=120平均收益函数为

R=RQ=10-Q5,

则R(20)=6,R(30)=4. 边际收益函数为

R￠=10-25Q,

则Rⅱ(20)=2,R(30)=-2. (2) 边际总收益函数为

R￠=10-25Q

令R￠=0得驻点Q = 25.

=-又因为Rⅱ25<0，且驻点唯一，所以当Q=2时，总收益最大为125.

-2P2.设某商品的需求量Q对价格P的函数为Q=50000e（1）求需求弹性;

.

（2）当商品的价格P=10元时,再增加1%，求商品需求量的变化情况. 解 (1)由弹性公式

eP=PQQ￠(P)=P50000e-2P(-2)?50000e-2P-2P

（2）由上式得eP|P=10=-20

根据需求弹性的经济意义知, 当价格为10元时, 价格p再增加1%, 商品需求量Q将减

少20%.

3.已知某企业某种产品的需求弹性在1.3 — 2.1之间, 如果该企业准备明年将价

第三节 微积分基本公式一、问题的提出二、积分上限函数及其导数 三、牛顿-莱布尼茨公式 四、小结 思考题

一、问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系

设某物体作直线运动，已知速度 v v ( t )是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 ,求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为

T2

T1

v ( t )dt

另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )

v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s (t ) v(t ).T1

T2

二、积分上限函数及其导数[a , b] 上连续， 设函数 f ( x ) 在区间 并且设考察定积分 x 为[a , b]上的一点，

x

a

f ( x )dx f ( t )dta

x

如果上限x 在区间 [a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它 在[a , b]上定义了一个函数，记为

( x ) f ( t )dt , 称为积分上限函数。a

x

积分上限函数的性质定理1 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 数 ( x )

d x 是 ( x

一、求函数的定义域。

1、 解：由

可得

2、

解：由可得

3、 解：由

可得

4、

解：由 5、 解：由

可得

可得

6、

解：由可得

7、

解：由可得

二、写出下列函数结构 1、已知

解：

2、

解： 注意： 3、设 解：

三、求下列函数的反函数 1、

，

的定义域是

，而

，求：

的定义域是

和。

。

解：

2、

，

解： 3、 解： 4、

，

，

解： 四、若产量

是价格

的函数

，当

时，

。

试确定出此函数。

解：将已知信息分别代入函数；解这个方程组

（2）式比（1）式，（3）式比（2）式可得；，解得

（1）式的平方=（3）式，得； 所以该函数为：第二章

一、求下列极限。

1、

解：=

2、

解： 3、

=

解：=

4、若 解：当

同阶无穷小。所以 =

，求K=？

为无穷小，由原式知

代入原式验之

是

5、

解：令，所以；原式=

6、

解：=

7、

解：

8、

解：

9、

解：

1．设某产品的价格与销售量的关系为P=10-Q5.

(1) 求当需求量为20及30时的总收益R、平均收益R及边际收益R'. (2) 当Q为多少时,总收益最大？ 解 (1) 由题设可知总收益函数为

R=QP=Q(10-Q5)=10Q-Q25

则

R|Q=20=10?20R|Q=30=10?3020530522=120

=120平均收益函数为

R=RQ=10-Q5,

则R(20)=6,R(30)=4. 边际收益函数为

R￠=10-25Q,

则Rⅱ(20)=2,R(30)=-2. (2) 边际总收益函数为

R￠=10-25Q

令R￠=0得驻点Q = 25.

=-又因为Rⅱ25<0，且驻点唯一，所以当Q=2时，总收益最大为125.

-2P2.设某商品的需求量Q对价格P的函数为Q=50000e（1）求需求弹性;

.

（2）当商品的价格P=10元时,再增加1%，求商品需求量的变化情况. 解 (1)由弹性公式

eP=PQQ￠(P)=P50000e-2P(-2)?50000e-2P-2P

（2）由上式得eP|P=10=-20

根据需求弹性的经济意义知, 当价格为10元时, 价格p再增加1%, 商品需求量Q将减

少20%.

3.已知某企业某种产品的需求弹性在1.3 — 2.1之间, 如果该企业准备明年将价

练习一 函数

一、填空题

1．函数y?x2?4?1的定义域是 . x?1?sinx?2?x?0? 2．若y??2，则y()? .

2?x?10?x?2,g?a?cosx，则y(g)? . 3．若y?e二、单项选择题

1. 若函数y?f(x)的定义域是[0，1]，则f(lnx)的定义域是( ) . A. (0,??) B. [1,??) C. [1,e] D. [0,1]

). 2. 函数y?lnsin?x的值域是( A. [?1,1] B. [0,1] C. (??,0) D. (??,0]

x 3. 若函数f(e)?x?1，则f(x)= ( ) .

A. ex?1 B. x?1 C. lnx?1 D. ln(x?1) 4. 下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等. A. y?xln(1?x)ln(1?x)2g?与 B. 与g?2lnx y?lnx2xx(x?a)2 C. y?1?sin2x与g?cosx D. y?x(x?1)与y?x(x?1)

5. 下列函数中y?

第三节 微积分基本公式一、问题的提出二、积分上限函数及其导数 三、牛顿-莱布尼茨公式 四、小结 思考题

一、问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系

设某物体作直线运动，已知速度 v v ( t )是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 ,求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为

T2

T1

v ( t )dt

另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )

v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s (t ) v(t ).T1

T2

二、积分上限函数及其导数[a , b] 上连续， 设函数 f ( x ) 在区间 并且设考察定积分 x 为[a , b]上的一点，

x

a

f ( x )dx f ( t )dta

x

如果上限x 在区间 [a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它 在[a , b]上定义了一个函数，记为

( x ) f ( t )dt , 称为积分上限函数。a

x

积分上限函数的性质定理1 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 数 ( x )

d x 是 ( x

经济数学

前言 一、“高等数学”的学科定位

“高等数学”，是以极限论为工具研究变 量和变量关系的学科，又称为微积分，在数学专业课中又称为“数学分析”。

研究的对象是函数，基础是实数域，运用分析的工具是极限。

以下我们根据课程的特点和内容从不同角度对其进行说明。

1、高等数学 初等数学，

2、高等数学又称为“微积分”，其主要内容是微分学和积分学两部分。而它们的基础是函数与极限，我们再根据其对象是一元函数和多元函数将其分为一元微积分和多元微积分。

3、同样是微积分，还有层次的高低问题。 4、在内容的系统上，其主线是运用极限论

工具对函数的各特性进行讨论。这里在内容体系展开上就有一个认识上的矛盾。因为极限论从认识的角度看要比函数的微积分难得多。若一开始就深入的徘徊在极限理论之中，必然偏离我们高数的学习目的。为了解决这个矛盾，我们尽量地简化了极限论的分析，只是罗列了一些要用的必需结论（这也是与数学分析的主要区别之一）。但是对它的简单化将使我们在运用极限这个工具时，感到有点把握不住，这是很正常的。希望大家一定要正确对待这一难关。我们的处理是在后继内容的一些具体问题中去逐步地完善对极限的认识，可能到后面的总结时，才能较好地体会和归纳出它的实