数学竞赛最难的是数论吗

数学竞赛中的数论问题 韩熙

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3， 是这样一个集合N ：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N 的子集M，若1 M，且当a M时，有后继数a M，则M N ． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数 素数（

数学竞赛中的数论问题 罗增儒

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3，?是这样一个集合N?：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N?的子集M，若1?M，且当a?M时，有后继数a?M，则M?N?． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得

数学竞赛中的数论问题 韩熙

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3， 是这样一个集合N ：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N 的子集M，若1 M，且当a M时，有后继数a M，则M N ． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数 素数（

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1

初中数学竞赛练习题集

数论部分

1. 求满足2p 2 p 8 m 2 2m 的所有素数 p 和正整数 m .

2. 设a 、b 为整数，x 、y 为整数，证明：形如ax by 的正整数中，最小值ax 0 by 0 (a,b).

2 2

3. 求方程x y 2(x y) xy 的所有正整数解?

4. 正整数n 满足当10 k 2时，有n k 1(mod k)，求n 的最小值.

6.已知 a 1，a ?, a 3, a 4， 是满足条件 a 1 a ? a 3

a 4 关于x 的方程 x 耳 x a 2 x % x a 4 x a 5

7. 试求出所有这样的正整数

a 使得关于x 的二次方程ax 2 2(2a 1)x 4(a 3) 0至少

有一个整数根. 2

8. 是否存在质数p 、q ，使得关于x 的一元二次方程 px qx p 0有有理数根 , 2 2

9. 已知m 、n 均为正整数，且 m n ，2006m m 2007 n n .证明：m n 是为完全 平方数.

2 2

10. 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程(k 2k)x (4 6k)x 8 0的解都是整数， 求k 的值.

2

9n 10n 2009能表示为两个连续自然数之积，求

数学竞赛中的数论问题

定理4 a,b是两个不同时为0的整数，若ax0?by0是形如ax?by（x,y是任意整数）的数中的最小正数，则

（1）ax0?by0|ax?by；（2）ax0?by0??a,b?．

证明 （1）由带余除法有ax?by??ax0?by0?q?r，0?r?ax0?by0， 得 r?a?x?qx0?x?b?y?qy0??ax0?by0，

知r也是形如ax?by的非负数，但ax0?by0是形如ax?by的数中的最小正数，故r?0，即ax0?by0|ax?by． （2）由（1）有ax0?by0|a1?b0?a，ax0?by0|a0?b1?b，

得ax0?by0是a,b的公约数．另一方面，a,b的每一个公约数都可以整除ax0?by0，所以ax0?by0是a,b的最大公约数，ax0?by0??a,b?．

推论 若?a,b??1，则存在整数s,t，使as?bt?1．（很有用）

定理5 互素的简单性质： （1）?1,a??1．（2）?n,n?1??1．（3）?2n?1,2n?1??1． （4）若p是一个素数，a是任意一个整数，且a不能被p整除，则?a,p??1． 推论 若p是一个素数，a

数学竞赛中的数论问题

定理4 a,b是两个不同时为0的整数，若ax0?by0是形如ax?by（x,y是任意整数）的数中的最小正数，则

（1）ax0?by0|ax?by；（2）ax0?by0??a,b?．

证明 （1）由带余除法有ax?by??ax0?by0?q?r，0?r?ax0?by0， 得 r?a?x?qx0?x?b?y?qy0??ax0?by0，

知r也是形如ax?by的非负数，但ax0?by0是形如ax?by的数中的最小正数，故r?0，即ax0?by0|ax?by． （2）由（1）有ax0?by0|a?1?b?0?a，ax0?by0|a?0?b?1?b，

得ax0?by0是a,b的公约数．另一方面，a,b的每一个公约数都可以整除ax0?by0，所以ax0?by0是a,b的最大公约数，ax0?by0??a,b?．

推论 若?a,b??1，则存在整数s,t，使as?bt?1．（很有用）

定理5 互素的简单性质： （1）?1,a??1．（2）?n,n?1??1．（3）?2n?1,2n?1??1． （4）若p是一个素数，a是任意一个整数，且a不能被p整除，则?a,p??1． 推论 若p是一个

数学竞赛中的数论问题

定理4 a,b是两个不同时为0的整数，若ax0?by0是形如ax?by（x,y是任意整数）的数中的最小正数，则

（1）ax0?by0|ax?by；（2）ax0?by0??a,b?．

证明 （1）由带余除法有ax?by??ax0?by0?q?r，0?r?ax0?by0， 得 r?a?x?qx0?x?b?y?qy0??ax0?by0，

知r也是形如ax?by的非负数，但ax0?by0是形如ax?by的数中的最小正数，故r?0，即ax0?by0|ax?by． （2）由（1）有ax0?by0|a1?b0?a，ax0?by0|a0?b1?b，

得ax0?by0是a,b的公约数．另一方面，a,b的每一个公约数都可以整除ax0?by0，所以ax0?by0是a,b的最大公约数，ax0?by0??a,b?．

推论 若?a,b??1，则存在整数s,t，使as?bt?1．（很有用）

定理5 互素的简单性质： （1）?1,a??1．（2）?n,n?1??1．（3）?2n?1,2n?1??1． （4）若p是一个素数，a是任意一个整数，且a不能被p整除，则?a,p??1． 推论 若p是一个素数，a

初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室

第二讲 整数的整除性

一、基础知识： 1．整除的基本概念与性质

所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．

定义： 设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．也称b是a的约数，a是b的倍数。

如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b｜a． 关于整数的整除，有如下一些基本性质：

性质1若a|b,b|c，则a|c

证明：∵a|b,b|c，∴b?ap,c?bq（p,q是整数），

∴c?(ap)q?(pq)a，∴a|c

性质2 若a｜b，b｜a，则 |a|=|b|．

性质3 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)，且对任意整数m，n，有c｜(ma±nb)．

证明：∵a|b,a|c，∴b?ap,c?aq(b,q是整数），

∴b?c?ap?aq?a(p?q)，∴a|(b?c)

性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．特别地，对于任意的非零整数m，有bm｜am 性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．

性质6 若b｜a，c｜a，则[b，

四．整除

例18 任意一个正整数m与它的十进制表示中的所有数码之差能被9整除． 证明：

例19 试证?1?2???9?1?2???955?5?．

证明：

例20 ?1979,IMO21?1?设p与q为正整数，满足

p1111?1??????， q2313181319求证p可被1979整除（1979p）

证明：

例20-1 2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数

证明：

例21 试证3n?n?1??2n?1?．

证明：

例22 k个连续整数中必有一个能被k整除． 证明：

例23 k个连续整数之积必能被k!整除． 证明：

例24 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上（n?3），若顺序相邻的3人中恰有一个男孩的有a组，顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有b组，求证3a?b．

证明：

例25 （1956，中国北京）证明n?3除时余2．

分析：

1

3m11?1????的分子m是吉祥数． n220090908321n?n?1对任何正整数n都是整数，并且用22五、同余

例26 正

初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室

第8讲 剩余系及其一次同余方程

一、基础知识： （1）剩余系

对于任意正整数n而言，一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。依次可将整数分成n个类（例如n＝2时，就是奇数或偶数），从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系，简称为模的完系。

定义1：如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,...,n-1），那么就被称为是模n的一个完全剩余系。

定义2：剩余系：设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成

[0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。

例如：当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 最小非负完全

{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 绝对值最小 {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 绝对值最小

（一）根据剩余类的概念，很容易得到以下几条有关剩余类的性质：

①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中

②整数p所属