如何证明点在圆内

圆内计算与证明

1、如图，△ABC内接于⊙O，AD为高，E为弧BC的中点，①求证：∠EAD＝∠EAO；

A ②若AB?AC＝8,AD＝2,求半径R。 O

C B D

E 2

2、如图，△ABC内接于⊙O ，AB＝AC，E为BC延长线上一点，求证：AC＝AD?AE。

A D O B E C

3、如图，A、B、C、D四点均在⊙O上 ，DC平分其外角∠ACE，DE⊥BE，①求证：DO⊥AB； ②当C点位置变化时，式子

的值是否发生变化？

D E C

O

A B

4、如图，⊙O中， 直径DE⊥弦AB，C为圆上一动点，AC与DE相交于点F，求证：

2

①OG?FG＝BG?CG；②AO＝OG?OF。

A

C D O G E F

B

5、如图，⊙O中，C为圆上一点，直径BD⊥AC，求证：AE?BE＝EF?EC。 A

F E

B G O D

C 6、在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F. （1）求证CF与⊙O相切； F A D （2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比

E

O

B C

o

7、如图，Rt△A

5.1质点在平面内的运动

一、教材分析：

运动的合成与分解的方法是本章重点教学内容，是研究抛体运动的预备知识。教材以蜡块为研究对象，先提出在平面坐标系内观察蜡块的二维运动，再采用物理学中规范的方法，强调坐标（位置）、轨迹，并以此为基础，解决位移、速度等问题，为以后处理平抛、斜抛问题打下坚实的方法基础。在整个运动学的章节中，本节课也是比较重要的一节。

二、教学重点和难点：

（一）、教学重点

明确一个复杂的实际物体运动可以等效为两个简单的运动，理解运动合成、分解的意义和方法

（二）、教学难点：

正确利用实际运动和分运动的关系解决实际问题。

三、教学目标：

（一）、知识与技能：

1、在具体问题中知道什么是合运动，什么是分运动。2、知道合运动和分运动是同时发生的，并且互不影响。 3、知道运动的合成和分解的方法遵循平行四边形法则

（二）、过程与方法：

1、利用蜡块运动的物理情景，引导学生分析合运动与分运动之间位移、速度、加速度之间的关系。培养学生的想象能力和抽象思维能力。2、通过运动独立性的实验探究，培养学生理论与与实践相结合的理念和能力，让学生经历实验、作图、讨论、交流的过程，在知识的发现和能力的形成过程中体验成功的乐趣

（三）、情感与价值观：

5.2 质点在平面内的运动

?运动的合成与分解的规律

1．关于互成角度的两个初速度不为零的变速直线运动的合运动，下列说法正确的是 A．一定是直线运动 B．一定是曲线运动 C．可能是直线运动，也可能是曲线运动 D．以上说法都不正确 2．下列说法中正确的是

A．任何曲线运动都是变加速运动 B．两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动(两速度大小相等，方向相反除外) C．两个匀加速直线运动的合运动一定不是直线运动

D．一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动一定是曲线运动

3．在沿平直公路做匀加速直线运动的汽车上，从窗口释放一个物体，不计空气阻力，则车上的人看到该物体的运动是

A．自由落体运动 B．向后方倾斜的匀加速直线运动 C．平抛运动 D．向后方倾斜的匀速直线运动

4．水滴自高处由静止开始下落，至落地前的过程中遇到水平方向吹来的风，则

A.风速越大，水滴下落的时间越长 B.风速越大，水滴落地时的瞬时速度越大 C.水滴着地时的瞬时速度与风速无关 D.水滴下落的时间与风速无关

5．质量为

切线证明法

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

A D A O B C D A O 图1 C B D C B O 图3 【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交B

证 明

1.如图，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥弦AD。求证：DC是⊙O的切线。

2、如图：PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于点B、C，M是弧BC的中点，AM交BC于点D。求证：

PD2?PB?PC

3.如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan ∠ACD和sin ∠P的值．

4.如图，已知ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证：

ABBC＝． FDDC

5．如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连结AD并延长，与过

1DPBD2C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证OE＝AC；（2）求证：＝；（3）22APAC当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．

6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆分别交BC、AC于D、G，作DE⊥AC于E，连结BE交⊙O于F。

求证：（1）DE为⊙O的切线；（2）DG=DC；（3）AE·EC=BE·EF

7、已知在⊙O中，直径AB为10

证 明

1.如图，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥弦AD。求证：DC是⊙O的切线。

2、如图：PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于点B、C，M是弧BC的中点，AM交BC于点D。求证：

PD2?PB?PC

3.如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan ∠ACD和sin ∠P的值．

4.如图，已知ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证：

ABBC＝． FDDC

5．如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连结AD并延长，与过

1DPBD2C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证OE＝AC；（2）求证：＝；（3）22APAC当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．

6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆分别交BC、AC于D、G，作DE⊥AC于E，连结BE交⊙O于F。

求证：（1）DE为⊙O的切线；（2）DG=DC；（3）AE·EC=BE·EF

7、已知在⊙O中，直径AB为10

二、质点在平面内的运动

【要点导学】

1、质点在实际运动过程中，可以看做物体同时参与了几个运动，这几个运动就是物体实际运动的分运动。物体的实际运动（合运动）的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。

2、由分运动求合运动的过程叫做；由合运动求分运动的过程叫做 。

3、运动的位移、速度、加速度的合成遵循矢量合成法则定则。运动的分解是 的逆过程，同样遵循 定则。

4、分运动和合运动的特点：

⑴运动的独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，互不干扰。

⑵运动的等时性：合运动和分运动同时发生、同时进行、同时结束，运动的时间相等。

⑶等效性：合运动产生的效果是各分运动分别产生的效果的总效果，它能替代所有的分运动，即合运动与分运动的等效性。

5．决定合运动的性质和轨迹的因素

物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。

物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动

“一师一优课”

《动态最值问题——圆内最值问题》教学设计

西安爱知中学 郭晏铖

【学情分析】

在运动变化中求最值的问题灵活性较强，涉及的知识面较广，对学生思维能力要求较高，经常令学生束手无策。因此如何正确快速的求解成为学生学习中的难点。本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,以及点和圆、直线和圆的位置关系。四班的同学在年级中属中等偏上水平，对于基本知识的学习掌握的较快，但缺乏应用的灵活性。与圆有关的最值问题可以变零散的知识为学生整体的认识，变重复枯燥的学习为新奇有趣的探索，在训练学生逻辑思维的同时，还能培养学生的探索能力 【教学方法】

对于圆中求最值问题,学生经常感到无从下手，处理此类题目首先要明确题目中运动的对象，然后就是根据按照题目要求作出运动过程中某一时刻的图象。现在学生普遍欠缺作图能力，因此我在题目的设置上也遵循由易到难的原则，从给出图形到简单作图再到复杂作图，让学生在这个过程中体会作图的重要性。

任何运动变化问题中总隐含着定量和不变关系，这也是解决这类问题的关键。在设计时我也注重设计情境，引导学生自己挖掘题目中的信息，找到这些关键点。从例1中的定量过渡到不变的位置关系再到不变的数量关系，剥茧抽丝，层层递进，从而体会探究的乐趣。

中考数学专题突破：证明圆的切线

方法一：等角代换（☆☆☆☆☆） 方法二：利用平行线的性质（☆☆） 方法三：证明三角形全等或相似（☆） 方法四：算出角度 方法五：勾股定理

方法一：等角代换（找到与90度相等的角）

【2017山东潍坊22】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线；

【解析】（1）证明：连接OD， ∵D为

的中点，∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∵DE⊥AC，∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；

【2017山东德州20】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC

为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；

【解析】（1）证明：

连接OE、EC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°， ∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2， ∵OE=OC，∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB， ∵∠ACB=90°，∴∠OED=90

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2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷

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一．解答题（共17小题）

1．（2014?辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=

，求BC和BF的长．

2．（2014?吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆