数列的综合应用例题

第5讲 数列的综合应用

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【2013年高考会这样考】 1.考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题. 2.考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力. 【复习指导】 1.熟练把握等差数列与等比数列的基本运算. 2.掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、 “数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等. 3.注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法.

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基础梳理 1.等比数列与等差数列比较表

不同点

相同点 (1)都强调从第二项 起每一项与前项的

(1)强调从第二项起每一项 等差 数列 与前项的差；(2)a1和d可 以为零；

关系；(2)结果都必须是同 一个常数； (3)数列都可由a1, d或a1,q确定

(3)等差中项唯一

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(1)都强调从第二项 起每一项与前项的

(1)强调从第二项起每一项等比 与前项的比； 数列 (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值

关系； (2)结果都必须是同

一个常数；(3)数列都可由a1, d或a1,q确定

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g3.1028数列的综合应用

一、知识回顾

1. 数列的概念，等差、等比数列的基本概念； 2. 等差、等比数列的通项、前n项和公式； 3. 等差、等比数列的重要性质； 4. 与数列知识相关的应用题；

5. 数列与函数等相联系的综合问题。

二、基本训练

?an?2,　n是奇1. 数列{an}中，a1?2,an?1?? ，则a5? 。

2a,　　n是偶?n2. 等差数列{an}中，a1?2，公差不为零，且a1,a3,a11恰为某等比数列的前3项，那么该等比数列的公比等于 。

23. Sn是等差数列{an}的前n项和，an?0，若am?1?am?am?1?0,S2m?1?38，则m

= 。

4. 设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且b1?0，数列{cn}的前三项依次是1,1,2，且

cn?an?bn，则数列{cn}的前10项和为 。

5. 如果函数f(x)满足：对于任意的实数a、b，都有f(a?b)?f(a)f(b)，且f(1)?2，则

f(2)f(5)f(9)f(14)f(1274)??????? 。 f(1)f(3)f(6)f(10)f(1225)

三、例题分

数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

－

1、 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n1·(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝________.

An7n＋5a72.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________

Bnn＋3b7

a2n＋1

3.若数列{an}满足2＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．则“数列{an}

an是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

4.已知函数

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

万智春季高考数学一轮复习

5.4等差等比数列的综合应用

知识梳理

数列应用题常见模型

（1） 等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差 （2） 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比， 生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）如：分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等。 典型例题

题型一 等差数列模型

例1. 为了减少沙尘暴对本城市环境的影响，某市政府决定在城市外围构筑一道新的防护林，计划从2011年起每年都植树20000

棵，2011年底发现防护林内损失了1000棵，假设以后每一年损失的树都比上一年多300棵，照此计算： （1）2020年这一年将损失多少棵？

（2）到2020年底，该防护林内共存活多少棵树？

题型二 等比数列模型

例2.某人于2000年1月在银行存入10000元，2001年1月再次存入10000元，此后，每年1月份都存入10000元，设银行利率为a，该人于2010年1月将本息和全部取出，问本息和共多少？

题型三 涉及等差、等

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数列的综合应用

一、课前检测

1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n个式子

为 。 答案：1?4?9?16?

2．用数学归纳法证明1?a?a?......?a2n?1?(?1)n?1n2?(?1)n?1(1?2?3?4??n)

1-an?2?(n?N?,a?1),在验证1-an?1成立时,左边所得的项为( C )

A.1 B.1+a C.1?a?a2 D.1?a?a2?a3

二、知识梳理

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。 ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r.其中第n年产量为

a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：

2n?1a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)a[a?(1?r)n]?. 1?(1?r)⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算

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数列的综合应用

一、课前检测

1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n个式子

为 。 答案：1?4?9?16?

2．用数学归纳法证明1?a?a?......?a2n?1?(?1)n?1n2?(?1)n?1(1?2?3?4??n)

1-an?2?(n?N?,a?1),在验证1-an?1成立时,左边所得的项为( C )

A.1 B.1+a C.1?a?a2 D.1?a?a2?a3

二、知识梳理

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。 ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r.其中第n年产量为

a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：

2n?1a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)a[a?(1?r)n]?. 1?(1?r)⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算

浙江高考数列经典例题汇总

1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列

?an?和?bn?满足

32a1a2?an?(Ⅰ)求

?2??n?N?.若?a?为等比数列，且a?2,b?6?b.

bn?n1an与bn；

cn?11?n?N??c?Sanbn。记数列n的前n项和为n.

??(Ⅱ)设（i）求

Sn；

?（ii）求正整数k，使得对任意n?N，均有

Sk?Sn．

2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列

{an}的首项a1?a

111Saaa(a?R),设数列的前n项和为n，且1，2，4成等比数列

（Ⅰ）求数列

{an}的通项公式及Sn

1111B?1?1?1?...?1An????...?na1a2a22a2nS1S2S3Sn，

（Ⅱ）记，当n?2时，试比较

An与Bn的大小.

3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列

?an?，an?0，a1?0，

22?an?a?1?a(n?N)．Sn?a1?a2???an?1n?1nTn?111????1?a1(1?a1)(1?a2)(1?a1)(1?a2)?(1?an)．

求证：当n?N时， （Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

4. 【2007年.浙江

数列的实际应用

1、某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)

2、某工厂更新设备,在1993年初贷款100万元,从该年度末开始,每年度末偿还一定的金额,计划在10年内还清,年利率为13%,那么每年需支付金额多少？

3、 某林场原有森林木材量为a,木材以每年的25%增长率生长,而每年冬天要砍伐的木材量为x,为了实现经过20年达到木材存有量至少翻两番的目标,则x的最大值是多少?(lg2=0.3)

1

4、从盛有盐的质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水， 问：1.第5次倒出的的1kg盐水中含盐多少g？

2.经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

5、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有