超弦理论和量子力学

超弦理论与量子引力

（作者 卢杲 研究员 英国伦敦技术物理研究院 cosmos9@163.com）

第一章 量子引力理论

§1.1宇宙存在三级量子

恒星、中子星、黑洞、宇宙奇点四者之间存在体积、能量、质量、密度方面的巨大差异，可以断定它们是由三种不同量级的量子组成，恒星由原子组成，中子星由粒子（中子）组成，黑洞由引力子组成，宇宙奇点由奇子组成。从宇宙奇点看，引力子、粒子、原子都有一种泡沫结构，我们对其中的原子泡沫已很熟悉，从中子星向黑洞、宇宙奇点反推上去，粒子、引力子的内部还是很空旷的。

由于目前的科技水平所限，我们无法在人工实验室中分离出电子、光子、夸克、引力子的亚结构，但却可以利用宇宙天体这一天然实验场，用大量的原子或粒子或引力子构成的天体来研究物质的亚结构。当恒星塌缩成中子星，既可知中子是原子的构成材料之一，这是我们已知的。当中子星塌缩成黑洞，既可知引力子是中子等粒子的构成材料之一，黑洞是纯引力天体，是纯引力子的世界，当吞噬了宇宙大部分物质的宇宙黑洞塌缩成宇宙奇点时，既可知奇子是引力子的结构材料之一，黑洞奇点和宇宙奇点在能量、质量、密度、温度方面存在极大差异，且黑洞奇点产生向内的力，宇宙奇点产生的是巨大的向外爆发的力，所以，

量子力学的变分法-量子力学的变分法

　　当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。　　
量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

　　若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
　　这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现

《量子力学》题库

一、简答题

1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： E?h????

??h?p?n??k

?其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒

子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？

答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数?可以写成??c1?1?c2?2，其中c1和c2为复数，?1和?2为粒子的分别属于能量E1和E2的构成完备系的能量本征态。试说明式子??c1?1?c2?

一、 填空题

1．玻尔的量子化条件为 。 2．德布罗意关系为 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．

为归一化波函数，粒子在

方向、立体角

内出现的几率

为 ，在半径为 ，厚度为 为 。

的球壳内粒子出现的几率

6．波函数的标准条件为 。 7．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是 。 10．厄密算符的本征函数具有

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面讨论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，则

????***?*(x,t)?(x,t)dx??cmcn?umundx??cmcn?mn??cnmn??mnn?2?1

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面讨论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，则

????***?*(x,t)?(x,t)dx??cmcn?umundx??cmcn?mn??cnmn??mnn?2?1

从波函数到薛定谔方程

摘要：本文从波函数出发，阐述薛定谔的推导过程，并且根据哈特里福克方程，克莱因戈

尔登方程完善薛定谔方程的泡利不相容原理，洛伦兹不变性。

关键词：波函数 薛定谔方程 哈特里福克方程 克莱因戈尔登方程

一．波函数：

微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数来描述的，这个波函数所反映的微观粒子

波动性 ，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）并且，玻恩指出：德布罗意波或波函数不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。 （1）推导过程：

在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程，即：

应用欧拉公式，可以推广到复数域：

再通过德布罗意公式，可以得到自由粒子的波函数：

（2）波函数性质

1.自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。

2.对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量不是常量，其波函数所描述的 德布罗意波就不是平面波。

3.外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。 （3）波函数的统计假设

设描述粒子运动状态的波函数为

，则

1.空间某

量子力学微扰理论

第五章 微扰理论

在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、变分法等。不同的近似方法有不同的适用范围。在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。

由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用于定态的和适用于非定态的两类。本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。

§5. 1 非简并定态微扰理论

近似方法的精神是从已知的简单问题的准确解出发，近似地求较复杂一些的问题的解。当然，我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。 假定体系的哈密顿量H不显含t，能量的本征方程：

Hψ=Eψ (5.1.1)

满足下述条件:

(1) H可分解为H(0)和H'两部分，而且H'远小于H(0)

H=H(0) + H'

Chatpe r. 5ertuPbrtainoTheory Caphte 5r微

扰理

论

ePrtrbatiuon heTory

1引 言

Capterh5. Pert ubatroi nTeohry前面讨了量子论力学基本理论的，并应薛定 用方格程得了求些一简问单题的。解:(如)一1维限深势阱问无； (2题)性谐线振问子题；( )势垒3贯问题穿 (;)4原子氢问。题 这些题都问出了问题给精的确析解解。在际微观实体中，由系于密顿哈符算复的杂性能， 求出定格方薛程精解确的问是题极少。例的一如氦个 子体原就难以系到得精解。因此确，在量子学中， 用力近似方法薛定格求方近似解就显得程尤重要为2。

C

aptehr 5 P.eturbariontThe ryo

近方似的出法发点:近方法似通常从简单问是的题精解确解(解) 出发，来求析复较问题杂的近似解(析)解 近似。法很多，方微扰法方和分变法是就其中 两种要的近重似方法。微扰方法又其哈视密顿算符是否与时间有关分 为定态扰微非和态定微两大扰。类3

授讲内容5.1非简并定 态微理论扰Cahpetr5. ePrtubrtiaon heToryNonde geenraet erptrbatuin otehor of ysatt

量子力学微扰理论

第五章 微扰理论

在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、变分法等。不同的近似方法有不同的适用范围。在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。

由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用于定态的和适用于非定态的两类。本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。

§5. 1 非简并定态微扰理论

近似方法的精神是从已知的简单问题的准确解出发，近似地求较复杂一些的问题的解。当然，我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。 假定体系的哈密顿量H不显含t，能量的本征方程：

Hψ=Eψ (5.1.1)

满足下述条件:

(1) H可分解为H(0)和H'两部分，而且H'远小于H(0)

H=H(0) + H'