高等数学不定积分公式表

一、基本导数公式：

1. kx '

k

2. x

n ' nxn 1

3. ax '

ax

lna4. ex '

e

x

5. log'

1

ax

xlna6. lnx '

1x

7. sinx '

cosx8. cosx '

sinx9. tanx ' sec2

x

10. cot '

csc2

x

11. secx '

secxtanx12. cscx '

cscxcotx13.

arcsinx '

1

14.

arccosx '

115. arctanx '

11 x2

16. arccot '

11 x2

二、基本微分公式：

1.d kx k

2.d xn nxn 1dx3.d ax axlnadx4.d ex exdx5.d lnx 1

xdx

6.d log1

ax xlna

dx

7.d sinx cosxdx8.d cosx sinxdx9.d tanx sec2

xdx

10.d cotx csc2xdx11.d secx secxtanxdx12.d cscx cscxcotxdx13.d

arcsinx

1

dx

14.d arccosx 1

dx

15.d arctanx 1

1 x

2

dx16.d arccotx 1

1 x

2

dx- 1 -

第 3、4 次课 4 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：不定积分的概念与性质 教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。 重 点：不定积分的性质和基本积分表 难 点：不定积分的概念 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 不定积分的概念 （25） 2. 不定积分的性质 （30） 3. 基本积分表 （30） 4. 习题 （90） 课后作业 参考资料 不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1 在区间I上，如果可导函数F?x?的导函数为f(x)，即对任一x?I，都有

F'?x??f(x)或dF(x)=?f(x)dx， 那么函数F?x?就称为f(x)(或f?x?dx)在区间I上的原函数.?

（2）原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数

F?x?, 使对任一x ?I 都有F ?(x)?f(x).

注： 1、

第四章 不定积分

一、不定积分的概念、性质与基本积分公式 内容提要

1、原函数与不定积分的定义 （1）原函数的定义

如果对任意x?I都有F?(x)?f(x)，或dF(x)?f(x)dx，则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数。

任何一个在区间I上连续的函数都存在原函数。

若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则对任意常数C，F(x)?C也是f(x)在区间I上的一个原函数，并且f(x)在区间I上的任何原函数均可表示成F(x)?C的形式。 （2）不定积分的定义

设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)在I上的原函数的一般表达式

F(x)?C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作?f(x)dx，即

?f(x)dx?F(x)?C

其中C为任意常数；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；? 称为积分符号；x称为积分变量。

一个函数的不定积分不是一个数，也不单指某个具体的函数，而是一个函数族。 2、不定积分的性质

（1）(?f(x)dx)??f(x) 或 d?f(x)dx?f(x)dx。 （2）?F'(x)dx?F(x)?C 或

?dF(x)?F(x)?C。

（3）?kf(x)dx?k?f(x)dx（

篇一：高等数学第四章不定积分习题

第四章不 定 积 分

4 – 1不定积分的概念与性质

一.填空题

1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的 所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。

2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为

d(arcsinx)?

1?x2

dx

,所以arcsinx是______的一个原函数。

4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。 二．是非判断题

1． 若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．

3

??f?x?dx???f??x?dx. [ ]

?

4． 若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题

1．c为任意常数，且F'(x)=f(x),下式成立的有 。（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;

不定积分 内容概要

名称 不 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均定 有 F?(x)?f(x) 积 或dF(x)?分 f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 主要内容 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，的 记为 概 ?f(x)dx?F(x)?C 为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 （1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均念 注：性 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx质 性质2：?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C； 性质3：?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 计 设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有算 第一换换元公式： 不 方 元 定 法 积分法 积 分 （凑微分法） ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 第二类 设换元积 分法 x??(t)单调、可导且导数不为零，有原函数F(t)?1f[?(t)]?

第五章 不定积分

一、 本章提要

1. 基本概念 原函数，不定积分． 2. 基本公式

不定积分的基本积分公式（13个）；分部积分公式． ３．基本方法

第一换元积分法（凑微分法）；第二换元积分法；分部积分法；简单有理函数的积分方法．

二、 要点解析

问题1 应用第二换元积分法应注意什么问题？

解析 用第二换元积分法计算不定积

?f(x)dx关键是要选择合适的变换函数

x??(t)，使得新的被积函数f(?(t))??(t)具有原函数G(t) ，再从x??(t)中得出 t???1(x)代入G(t)，即得f(x)的原函数．上述条件与结论用定理描述为：

定理（第二换元法）若函数x??(t)在某个区间上满足： （1）??(t)可导且 ??(t)?0；

（2）x??(t)的反函数 t??(x)存在； （3）f(?(t))??(t)有原函数G(t)．则有

?1?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?G(?1 ???t?1 ??(t) ?1(x))?C．

上述定理的证明是显然的，只需证明右端的导数是左边的被积函数即可，事实上，

?(G(??1(x))?C)??G?(t)t?x?G(t)

不定积分 内容概要

名称 不 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均定 有 F?(x)?f(x) 积 或dF(x)?分 f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 主要内容 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，的 记为 概 ?f(x)dx?F(x)?C 为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 （1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均念 注：性 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx质 性质2：?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C； 性质3：?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 计 设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有算 第一换换元公式： 不 方 元 定 法 积分法 积 分 （凑微分法） ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 第二类 设换元积 分法 x??(t)单调、可导且导数不为零，有原函数F(t)?1f[?(t)]?

不定积分 内容概要

名称 不 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均定 有 F?(x)?f(x) 积 或dF(x)?分 f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 主要内容 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，的 记为 概 ?f(x)dx?F(x)?C 为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 （1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均念 注：性 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx质 性质2：?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C； 性质3：?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 计 设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有算 第一换换元公式： 不 方 元 定 法 积分法 积 分 （凑微分法） ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 第二类 设换元积 分法 x??(t)单调、可导且导数不为零，有原函数F(t)?1f[?(t)]?

不定积分基本公式

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined

Integral and Direct Integral）

课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容：

一、不定积分的基本公式

由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式

(C) 0x 1

(x 1)

1 x (ex) ex(ax) axlna1x

(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)

1

(arctanx)

1 x2

(arccosx) 1

(arccotx)

1 x21

(logax)

xlna

0dx C dx x C

x 1

xdx 1

Yz.Liu.2013.09

卷终 公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎

覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式

之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一 基本初等函数的不定积分18式：

?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数

?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数

(3).?exdx?ex?C

(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数

(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?