高等数学不定积分公式表
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高等数学导数、微分、不定积分公式
一、基本导数公式:
1. kx '
k
2. x
n ' nxn 1
3. ax '
ax
lna4. ex '
e
x
5. log'
1
ax
xlna6. lnx '
1x
7. sinx '
cosx8. cosx '
sinx9. tanx ' sec2
x
10. cot '
csc2
x
11. secx '
secxtanx12. cscx '
cscxcotx13.
arcsinx '
1
14.
arccosx '
115. arctanx '
11 x2
16. arccot '
11 x2
二、基本微分公式:
1.d kx k
2.d xn nxn 1dx3.d ax axlnadx4.d ex exdx5.d lnx 1
xdx
6.d log1
ax xlna
dx
7.d sinx cosxdx8.d cosx sinxdx9.d tanx sec2
xdx
10.d cotx csc2xdx11.d secx secxtanxdx12.d cscx cscxcotxdx13.d
arcsinx
1
dx
14.d arccosx 1
dx
15.d arctanx 1
1 x
2
dx16.d arccotx 1
1 x
2
dx- 1 -
高等数学不定积分讲义
第 3、4 次课 4 学时
课程安排:1学期,周学时 2 , 共 48学时. 主要内容:不定积分,定积分,微分方程 本次课题:不定积分的概念与性质 教学要求:1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质;3. 熟记基本积分表。 重 点:不定积分的性质和基本积分表 难 点:不定积分的概念 教学手段及教具:讲授法 讲授内容及时间分配: 1. 不定积分的概念 (25) 2. 不定积分的性质 (30) 3. 基本积分表 (30) 4. 习题 (90) 课后作业 参考资料 不定积分的概念与性质
1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念.
(1)定义1 在区间I上,如果可导函数F?x?的导函数为f(x),即对任一x?I,都有
F'?x??f(x)或dF(x)=?f(x)dx, 那么函数F?x?就称为f(x)(或f?x?dx)在区间I上的原函数.?
(2)原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数
F?x?, 使对任一x ?I 都有F ?(x)?f(x).
注: 1、
高等数学辅导(不定积分)
第四章 不定积分
一、不定积分的概念、性质与基本积分公式 内容提要
1、原函数与不定积分的定义 (1)原函数的定义
如果对任意x?I都有F?(x)?f(x),或dF(x)?f(x)dx,则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数。
任何一个在区间I上连续的函数都存在原函数。
若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则对任意常数C,F(x)?C也是f(x)在区间I上的一个原函数,并且f(x)在区间I上的任何原函数均可表示成F(x)?C的形式。 (2)不定积分的定义
设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数,那么f(x)在I上的原函数的一般表达式
F(x)?C称为f(x)在区间I上的不定积分,记作?f(x)dx,即
?f(x)dx?F(x)?C
其中C为任意常数;f(x)称为被积函数;f(x)dx称为被积表达式;? 称为积分符号;x称为积分变量。
一个函数的不定积分不是一个数,也不单指某个具体的函数,而是一个函数族。 2、不定积分的性质
(1)(?f(x)dx)??f(x) 或 d?f(x)dx?f(x)dx。 (2)?F'(x)dx?F(x)?C 或
?dF(x)?F(x)?C。
(3)?kf(x)dx?k?f(x)dx(
《高等数学》不定积分课后习题详解
篇一:高等数学第四章不定积分习题
第四章不 定 积 分
4 – 1不定积分的概念与性质
一.填空题
1.若在区间上F?(x)?f(x),则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的 所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。
2.F(x)是f(x)的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为
d(arcsinx)?
1?x2
dx
,所以arcsinx是______的一个原函数。
4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。 二.是非判断题
1. 若f?x?的某个原函数为常数,则f?x??0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3.
3
??f?x?dx???f??x?dx. [ ]
?
4. 若f?x?在某一区间内不连续,则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题
1.c为任意常数,且F'(x)=f(x),下式成立的有 。(A)?F'(x)dx?f(x)+c;(B)?f(x)dx=F(x)+c;
《高等数学》不定积分课后习题详解
不定积分 内容概要
名称 不 设f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均定 有 F?(x)?f(x) 积 或dF(x)?分 f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 主要内容 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,的 记为 概 ?f(x)dx?F(x)?C 为f(x)的原函数,则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 (1)若f(x)连续,则必可积;(2)若F(x),G(x)均念 注:性 性质1:d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx; ?????dx质 性质2:?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C; 性质3:?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。 计 设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有算 第一换换元公式: 不 方 元 定 法 积分法 积 分 (凑微分法) ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 第二类 设换元积 分法 x??(t)单调、可导且导数不为零,有原函数F(t)?1f[?(t)]?
高等数学 第五章 不定积分
第五章 不定积分
一、 本章提要
1. 基本概念 原函数,不定积分. 2. 基本公式
不定积分的基本积分公式(13个);分部积分公式. 3.基本方法
第一换元积分法(凑微分法);第二换元积分法;分部积分法;简单有理函数的积分方法.
二、 要点解析
问题1 应用第二换元积分法应注意什么问题?
解析 用第二换元积分法计算不定积
?f(x)dx关键是要选择合适的变换函数
x??(t),使得新的被积函数f(?(t))??(t)具有原函数G(t) ,再从x??(t)中得出 t???1(x)代入G(t),即得f(x)的原函数.上述条件与结论用定理描述为:
定理(第二换元法)若函数x??(t)在某个区间上满足: (1)??(t)可导且 ??(t)?0;
(2)x??(t)的反函数 t??(x)存在; (3)f(?(t))??(t)有原函数G(t).则有
?1?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?G(?1 ???t?1 ??(t) ?1(x))?C.
上述定理的证明是显然的,只需证明右端的导数是左边的被积函数即可,事实上,
?(G(??1(x))?C)??G?(t)t?x?G(t)
《高等数学》不定积分课后习题详解
不定积分 内容概要
名称 不 设f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均定 有 F?(x)?f(x) 积 或dF(x)?分 f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 主要内容 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,的 记为 概 ?f(x)dx?F(x)?C 为f(x)的原函数,则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 (1)若f(x)连续,则必可积;(2)若F(x),G(x)均念 注:性 性质1:d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx; ?????dx质 性质2:?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C; 性质3:?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。 计 设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有算 第一换换元公式: 不 方 元 定 法 积分法 积 分 (凑微分法) ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 第二类 设换元积 分法 x??(t)单调、可导且导数不为零,有原函数F(t)?1f[?(t)]?
《高等数学》不定积分课后习题详解
不定积分 内容概要
名称 不 设f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均定 有 F?(x)?f(x) 积 或dF(x)?分 f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 主要内容 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,的 记为 概 ?f(x)dx?F(x)?C 为f(x)的原函数,则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 (1)若f(x)连续,则必可积;(2)若F(x),G(x)均念 注:性 性质1:d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx; ?????dx质 性质2:?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C; 性质3:?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。 计 设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有算 第一换换元公式: 不 方 元 定 法 积分法 积 分 (凑微分法) ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 第二类 设换元积 分法 x??(t)单调、可导且导数不为零,有原函数F(t)?1f[?(t)]?
不定积分基本公式
不定积分基本公式
第二节 不定积分的基本公式和直接积分法(Basic Formula of Undefined
Integral and Direct Integral)
课 题:1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型:讲授 教学目的:熟练掌握不定积分的基本公式,对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点:不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具:多媒体课件 教学方法: 教学内容:
一、不定积分的基本公式
由于不定积分是求导的逆运算,所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式
(C) 0x 1
(x 1)
1 x (ex) ex(ax) axlna1x
(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)
1
(arctanx)
1 x2
(arccosx) 1
(arccotx)
1 x21
(logax)
xlna
0dx C dx x C
x 1
xdx 1
不定积分表
Yz.Liu.2013.09
卷终 公式表注解四
基本不定积分表
序言:
微积分创立之初,牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论,但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上,莱布尼茨对之要求甚严,并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展,公式表逐渐全面,分类亦几乎
覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要,亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法,以及每个积分的简要推演方法,其中引入了除一般之换元法,凑微分法,分部积分法之外,亦引入虚数单位,并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式
之反用,或均不在此给出推演方法,或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组,151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式:
?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数
?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数
(3).?exdx?ex?C
(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数
(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?