存在性问题方法总结

高中竞赛

中

等

数

学

存在性问题的解题方法吓王连笑天津市实验中学,

本讲适合高中

,

,

…

,

这一

类中必有一,

,

与

,

用抽屉原理解存在性问题

…

,

。

中的一个属于同一类设一,

,

与,‘

属

把时。,,

个元素分成

。

,

的个集合个希元素

,

当当

同一类则数之和是,,

一

,

,

,

即有两,

贝必有一集合至少有、

的倍数,

如果只有二个数设为‘,

落在,

朴时,,

,

贝“有一集合至少有〔〕‘个元。

登

中的某两将落在,,,,,

粼之中,

这

素

其中〔〕表示不超过

二

的最大整数,

时

,

一,

‘

,

一

,

的某,

把无穷多个元素分成有限个集合则至少有一个集合仍含有无穷多个元素以上两个原理就是抽屉原理从叙述中

两类中这时,,,

…氏一,,,

。,

一

必落入。

…咬这,,

类中因此必有‘

或

一

,

与

,

…

中的一个在同一类问,

可以看出抽屉原理就是解决存在性问题的命题

题得证如果有三个数设为。,

。,

,

落在

关于用抽屉原理解题已有不少文章介绍这里仅举两例说明,

,

,

,

中的某三个同样可讨论

屉原理是证明存在

,

,

,

‘,

一矶

一,

,

一,

问题仍可得证‘,

性问题的一个重要原理例劝任意给定,

如果有四个数设为

。,

。

,

,

落

个整数求证其中必整除,,,

在二,,

,

,

中的每一个则可讨论,

存在两个数其和或者其差可被证明设这个整数为,

。

,

,

一

。

,

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一

。,

,

一

,

一。

,

间题同样得

…,

,

证…,

考虑

高中竞赛

中

等

数

学

存在性问题的解题方法吓王连笑天津市实验中学,

本讲适合高中

,

,

…

,

这一

类中必有一,

,

与

,

用抽屉原理解存在性问题

…

,

。

中的一个属于同一类设一,

,

与,‘

属

把时。,,

个元素分成

。

,

的个集合个希元素

,

当当

同一类则数之和是,,

一

,

,

,

即有两,

贝必有一集合至少有、

的倍数,

如果只有二个数设为‘,

落在,

朴时,,

,

贝“有一集合至少有〔〕‘个元。

登

中的某两将落在,,,,,

粼之中,

这

素

其中〔〕表示不超过

二

的最大整数,

时

,

一,

‘

,

一

,

的某,

把无穷多个元素分成有限个集合则至少有一个集合仍含有无穷多个元素以上两个原理就是抽屉原理从叙述中

两类中这时,,,

…氏一,,,

。,

一

必落入。

…咬这,,

类中因此必有‘

或

一

,

与

,

…

中的一个在同一类问,

可以看出抽屉原理就是解决存在性问题的命题

题得证如果有三个数设为。,

。,

,

落在

关于用抽屉原理解题已有不少文章介绍这里仅举两例说明,

,

,

,

中的某三个同样可讨论

屉原理是证明存在

,

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一矶

一,

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一,

问题仍可得证‘,

性问题的一个重要原理例劝任意给定,

如果有四个数设为

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中的每一个则可讨论,

存在两个数其和或者其差可被证明设这个整数为,

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一

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间题同样得

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证…,

考虑

1、（12年.沈阳25题）已知，如图，在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2，0),点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=?2x2+mx+n的图象经过A，C两点.

（1） 求此抛物线的函数表达式； （2） 求证：∠BEF=∠AOE；

（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（22?1） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ．．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

2、（12毕节27） （本题16分）如图，直线l1经过点A（-1，0），直线l2经过点B(3,0), l1、l2均为与y轴交于点C(0,?3),抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过A、B、C三点。

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证

专题五 解析几何

例题、 (2011年·辽宁)如图,已知椭圆C1的中心在原 点O,长轴左、右端点M、N在x轴上,椭圆C2的短轴 为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于 两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次 为A,B,C,D.1 (1)设e= ,求|BC|与|AD|的比值; 2

(2)当e变化时,是否存在直线l,使得 BO∥AN?并说明理由.

【解析】(1)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设x2 y2 b2 y 2 x2 C1: + 2=1,C2: + =1,(a>b>0). a2 b a4 a2

设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立, 求得A(t,1a b2 a t ),B(t, 2

b a

2 a t ). 2

当e= 时,b= a,分别用yA,yB表示A,B的纵坐标,可知 2 |BC|∶|AD|=2 | yB | 2 | yA |

3 2

b2 = 2 a

=

3 4

(2)t=0时的l不符合题意,t≠0时,BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与 AN的斜率kAN相等,b 2 2 a t a t

也可用向量表示更恰当。 也可用向量表示更恰当。

即

=

a 2 2

2018年中考数学复习《热点专题》

1 初中常见的数学思想

1. (2017·包头)若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm、则该等腰三角形的底边长为( )

A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm

2. ( 2017·荆州)为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠.小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元.若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款( ) A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 200元

3. ( 2016·淄博)如图是由边长相同的小正方形组成的网格, A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上.线段AB,PQ相交于点M.则图中?QMB的正切值是( )

A.

1 B. 1 C. 2

3 D. 2

4. (2016·盐城)李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是

中考数学专题复习——存在性问题

一、二次函数中相似三角形的存在性问题

1.如图，把抛物线y?x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y?(x?h)2?k. 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h、k的值； （2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， 求点D的坐标；

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM?x轴，垂足为M，是否存在点P， 使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1

二、二次函数中面积的存在性问题

3.如图，抛物线y?ax2?bx?a>0?与双曲线y?

k

相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2）， x

点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线A

探究圆锥曲线中的存在性问题

1．求曲线（或轨迹）的方程。对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；

2．与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 一、是否存在这样的常数

x2例1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆?y2?1有两个不同的

2交点P和Q． （I）求k的取值范围；

（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与

AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y?kx?2，

?1x22?2代入椭圆方程得?(kx?2)2?1．整理得??k?x?22kx?1?0 ①

?2?2直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于??8k?4?2?1??k2??4k2?2?0， ?2???2??222?∞，?，?∞?解得k??或k?．即k的取值范围为?．

二次函数的存在性问题（相似三角形）

1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

y y

A A x x B B O O

图① 图②

2、设抛物线y?ax?bx?2与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．

2 1

(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线y?x?1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．

解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,．

OC222∴OA·OB=OC；∴OB=??4 ∴m=4．

OA12

y

6 4 2

函数中的恒成立、恰成立和能成立问题

教学目标： 结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法

过程与方法 通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系 问题：

已知函数f(x)?2k2x?k,x?[0,1]，函数g(x)?3x2?2(k2?k?1)x?5,x?[?1,0]， 当k?6时，对任意x1?[0,1]，是否存在x2?[?1,0]， g(x2)?f(x1)成立.若k?2呢？ 变式1：对任意x1?[0,1]，存在x2?[?1,0]， g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

f(x)的值域是g(x)的值域的子集即可.

变式2：存在x1?[0,1] x2?[?1,0]，使得g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

g(x)的值域与f(x)的值域的交集非空. 变式3：对任意x1?[0,1]，存在x2?[?1,0]，使得g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

gmin(x)?fmin(x)

《小结》： 对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.

x2?2x?a,对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立，例1：（1）已知f(x)?求实数a的

反比例函数中的存在性问题专练

姓名：

一、等腰三角形的存在性问题 k1、已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，2xb+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点kA、B的坐标：（3）根据函数图象，求不等式＞2x-1的解集；（4）在（2）的条件2x下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

二、平行四边形存在性问题

1、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=将反比例函数y=k的图象上．（1）求AB的长；（2）当矩形ABCD是正方形时，xkk的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y= 1的图象（如图2），求xxk1的值；（3）直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y=k于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？x

k2、已知：如右图，已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图像经

2x若能，请求出点M的坐标；若不能