第50届国际数学奥林匹克

第1届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程

a cos2x + b cos x + c = 0,

试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点；

（b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不

第1届国际数学奥林匹克(IMO)

1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程

a cosx + b cos x + c = 0,

试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点；

（b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在

bio 竞赛

第四届IBO试题

选择题

1．在某一类型的血细胞中，一种电中性物质的浓度比周围血浆中的该物质的浓度高得多，然而此物质仍能继续不断地进入细胞。该物质进入细胞的这一过程是：

A 渗透作用 B 简单扩散作用

C 易化扩散即进行得较快的扩散作用 D 主动传送（或称活性转运）

2．一U–形管中装有两种木同的溶液R和S，并为一半透性膜（X）隔开。与S相比，R为低渗溶液，右图中黑色的深浅即代表浓度高低。当右图中的U形管内已达到平衡时，溶液表面是一样高还是不一样高？渗透压（或渗透势）是相等还是不相等（参看下图）？

A 右侧较高，两溶液等渗，即浓度相等

B 右侧较高，且右侧为高渗，即浓度较高

C 左侧较高，且有侧为低渗，即浓度较低

D 两侧高度相等，且为等渗

3．下列四对名词中，哪一对的表述是合适的？

A 叶绿体——贮藏酶 B 过氧化（酶）体——细胞中的转运作用

C 核仁——核糖体亚基的组装部位 D 溶酶体——细胞中的发电站

4．利用光学显微镜能够看到当细胞开始失水时，植物细胞不如动物细胞收缩得那么显著。这是因为：

A 质膜的伸缩性不同 B 质膜上的小

11K.® n /BCF¥, B´ .3 CFþ :A,¦ FA=FB,…F3:AÚC m. :D,¦ DA=DC,…AC´∠DAB S ²© . :E,¦ EA=ED,…AD´∠EAC S ²© . M´ ãCF ¥:. :X¦ AMXE´ ²1o>/(ùpAM EX,AE MX).y²: BD,FXÚMEn :.

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第31届中国数学奥林匹克获奖名单

一等奖(112人)

名次 1 2 3 3 3 6 6 6 6 10 11 12 12 14 14 16 16 16 16 16 16 16 16 24 24 24 27 27 29 29 29 29 29 29 29

1

省、市、自治区

上海 吉林 安徽 广东 湖北 河北 江苏 上海 上海 湖北 北京 广西 北京 北京 湖北 北京 重庆 河北 河南 湖南 上海 四川 浙江 河南 湖北 浙江 辽宁 四川 北京 广东 湖北 湖北 辽宁 陕西 天津 姓名 性别 张盛桐 男 于翔宇 男 孟培坤 男 黄峄凡 男 王逸轩 男 杨 远 男 韩 啸 男 于奕清 男 鲁一逍 男 段明阳 男 赵浩宇 男 唐珑珂 男 贾泽宇 男 孙 谦 男 傅颢硕 男 林一衡 男 郑 洋 男 高瑞奇 男 熊泽都 男 江 朗 男 黄小雨 男 卢维潇 男 李永亮 男 朱宇轩 男 严子恒 男 吴雨航 男 梁宇辰 男 方一杰 男 尚正元 男 吴天昊 男 王云崧 男 郑云汉 男 孟 响 男 武江铮 男 赵川喆 男 学校

上海市上海中学 吉大附中 马鞍山二中 广东广雅中

1988年第20届国际化学奥林匹克竞赛理论试题及答案 芬兰埃斯波 7月2－9日

1988年第20届国际化学奥林匹克竞赛理论试题

理论竞赛进行5小时，在题目的每一节后面的括号内标明该节总分数。 已知下列常数和相对原子质量： R=8.314J·K-1mol-1

1.00大气压(atm)=101.3千帕(kPa)相对原子质量为： H：1.0 C：12.0 N：14.0 O：16.0 F：19.0 S：32.0 Cl：35.5 Br：79.9 Ag：107.9

同位素丰度如下表所示。最常见的同位素的丰度都当做100来表示。 元素 H C N O P S Cl Br 质量 1 12 14 16 31 32 35 79 丰度 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 质量 2 13 15 17 33 相对丰度 0.015 1.1 0.37 0.04 0.080 质量 18 34 37 81 相对丰度 0.2

1988年第20届国际化学奥林匹克竞赛理论试题及答案 芬兰埃斯波 7月2－9日

1988年第20届国际化学奥林匹克竞赛理论试题

理论竞赛进行5小时，在题目的每一节后面的括号内标明该节总分数。 已知下列常数和相对原子质量： R=8.314J·K-1mol-1

1.00大气压(atm)=101.3千帕(kPa)相对原子质量为： H：1.0 C：12.0 N：14.0 O：16.0 F：19.0 S：32.0 Cl：35.5 Br：79.9 Ag：107.9

同位素丰度如下表所示。最常见的同位素的丰度都当做100来表示。 元素 H C N O P S Cl Br 质量 1 12 14 16 31 32 35 79 丰度 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 质量 2 13 15 17 33 相对丰度 0.015 1.1 0.37 0.04 0.080 质量 18 34 37 81 相对丰度 0.2

2009年第50届IMO解答

2009年7月15日



1、是一个正整数，是n12,,...,(2)kaaak≥{}1,2,...,n中的不同整数，并且1(1iinaa+.对
于所有都成立，证明：1,2,...,1ik=1(
1kaa.不能被n整除。

证明1：由于12(1naa.，令1(,)nap=，
nqp=也是整数，则npq=，并且1pa，
21qa.。因此，由于2(,)1qa=23(1npqaa=.，故31qa.；同理可得41qa.，。。。，
因此对于任意都有2i≥1iqa.，特别的有1kqa.，由于1pa，故1(1knpqaa=.(*)。

若结论不成立，则1(
1knpqaa=，与(*)相减可得1(knaa.，矛盾。

综上所述，结论成立。









此题平均得分：4.804分


2、外接圆的圆心为O，分别在线段上，ABCΔ,PQ,CAAB,,KLM分别是,,BPCQPQ
的中点，圆过Γ,,KLM并且与相切。证明：OPPQOQ=。

KMLOBCAQP


证明：由已知MLKKMQAQP∠=∠=∠，MKLPMLAPQ∠=∠=∠，因此
APQMKLΔΔ～。所以
APMKBQAQMLCP==，故APCPAQBQ.=.(*)。

设圆O的半径为R，则由(*)有222ROPROQ.=

国际奥林匹克竞赛

国际奥林匹克竞赛，是供全球各地中学生的比赛，一般指由世界各国尚未接受系统的高等教育的中学生参加的学科知识竞赛。 简介

学科奥林匹克竞赛每年举办一次，由参与竞赛各国的国家级主管教育的部门（通常为教育部）轮流举办。参加竞赛的国家每国派出1-4人不等的中学生组成代表队赴举办国参加比赛，决出金、银、铜牌及其他各种奖项若干。

全国五项学科竞赛活动包括数学、物理、化学、生物和信息学竞赛，是由中国科学技术协会所属中国数学会、中国物理学会、中国化学会、中国计算机学会、中国动物学会和中国植物学会等六个学会主办，并得到教育部及各级教育主管部门支持的，在国内具有广泛影响的面向在校高中学生的课外活动。其宗旨是：向中学生普及科学知识，激发他们学习学科知识的兴趣和积极性，为优秀学生提供相互交流和学习的机会，促进中等学校科学教育改革。通过竞赛和相关的活动培养和选拔优秀学生，为参加国际奥林匹克学科竞赛选拔参赛选手。学科竞赛学科竞赛属于课外活动，始终坚持学有余力、对学科学习有兴趣的学生自愿参加的原则，是在教师指导下学生研究性学习的重要方式。

每年，通过全国学科竞赛选拔优秀的中学生组成国家集训队，依托北大、清华、复旦大学等著名院校，由专家和领队对学生进行培

第五届国际生物奥林匹克竞赛试题

选择题

1．下列几种特点中，哪一项不是水的特性？

A 热的不良导体 B 电的良导体

C 细胞中大多数物质的良好溶剂 D 细胞中大部分反应均在水溶液中进行 2．根据细胞膜的流体镶嵌模型：

A 蛋白质与磷脂形成一有规则的重复结构 B 膜是一刚性结构

C 磷脂形成一双分子层，其极性头部对顶着 D 蛋白质可在磷脂双分层中进行侧向移动

3．一小段小肠制成的袋，其中装有物质M和能分解M的一种酶。此袋放在盛于容器中的蒸馏水中如下图。第二天检查水时，发现其中只含有物质X。根据这一观察，不能作出下列各结论中的哪一条？

A 酶分解了物质X B 袋中的物质M被分解了 C X是物质M的组分 D 物质X能穿过小肠壁 E 物质M的分子量大于物质X的分子量

4．有些蓝绿藻（蓝细菌）既是自养的（能进行光合作用），又是异养的（能同化有机化合物）。已有实验证明，光促进它们对有机物的同化（周围大气中的CO2含量正常）。下列哪种说法是对这一现象的最可能的解释？

A 有机化合物的存在抑制光合作用

B 蓝绿藻对有机化合物的吸收和利用不消耗能量

C 光合作用中所形成的同