直线与椭圆的综合应用

1、（北京文科19）已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2?3y2?4上，C在直线l：y=x+2上， 且AB∥l．

（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.

设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).

?x2?3y2?4,由?得x??1,

y?x?所以

AB?2x1?x2?22.

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离， 所以h?2.S?ABC?1AB?h?2. 2（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.

?x2?3y2?4,由?得4x2?6mx?3m2?4?0. ?y?x?m因为A，B在椭圆上， 所以???12m2?64＞0.

设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.

3m3m2?4, 则x1?x2??,x1x2?24

BC?所以

32?6m2AB?2x1?x2?.

2又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即

2?m2.

AC?AB?BC??m2?2m?10??(m?1)2?11.

222

所以

所以当m

个性化教案 直线和椭圆的综合运用 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 数学 江苏 椭圆的综合问题 1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式； 2.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想 利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等综合问题. 利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等综合问题. 适用年级 课时时长（分钟） 高二 60分钟 教学重点 教学难点 教学过程

一、知识讲解

考点/易错点1 直线与椭圆的位置关系

提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系

引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系

x2y2设点P(x0,y0)，椭圆标准方程为2?2?1(a?b?0)

ab22x0y0若点P(x0,y0)椭圆上，则2?2?1；

ab22x0y0若点P(x0,y0)在椭圆内，则2?2?1；

ab22x0y0若点P(x0,y0)在椭圆外，则2?2?1；

ab2.直线与椭圆的位置关系

（1）

专题三 直线与椭圆综合

x2y231．（12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆C的长轴长为4．

ba2（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线l:y?kx?3与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 2．（本小题满分14分） 已知椭圆G的离心率为

（0,-1）．

，其短轴的两个端点分别为A（0,1）,B

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）若C,D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC,BD与x轴分别交于点M,N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．

x2y21（a＞b3．（本小题满分12分）已知直线l： y?3x?23过椭圆C：2＋2＝ab＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为

6． 3（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．

x2y214．已知椭圆C:2?2?1（a>b>0）的两个焦点分别为F1,F2，离心率为，过F1的

2ab直线l与椭圆C交于M，N两点，且?MNF2的周长为8．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点，证明：点O到

考向3 直线与椭圆的综合问题(高频考点)

命题视角 直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有： (1)由已知条件求椭圆的方程或离心率； (2)由已知条件求直线的方程； (3)中点弦或弦的中点问题； (4)弦长问题；

(5)与向量结合求参变量的取值．

31，?的【典例3】 (2014·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知过点??2?x2y2

椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点

abB关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

833?(2)若点B的坐标为?，，试求直线PA的方程；

?55?(3)记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yM·yN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

[思路点拨] (1)根据椭圆定义求出a的值，再由c＝1求出b的值，就可得到椭圆的标准方程，(2)根据条件分别解出A，P点坐标，就可写出直线PA的方程，(3)先根据直线AB垂直x轴的特殊情况下探求yM，yN的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值．本题难点在如

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

椭圆的简单几何性质(三)直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

椭圆的简单几何性质(三)前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种？

怎么判断它们之间的位置关系？ d=r 几何法： d>r 代数法： <0 =0

d<r

>0

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

直线与椭圆的位置关系的判定问题2:椭圆与直线的位置关系？

Ax+By+C=0 代数法 2 2 由方程组： x y 2 1 ----求解直线与二次曲线有 2 a b 2 mx +nx+p=0(m≠ 0) 关问题的通法。

= n2-4mp>0 =0 <0方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交

【高考目标定位】

1．考纲点击

掌握直线与椭圆的位置关系。 2．热点提示

（1）直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。

（2）各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题目。

【复习回顾】

1.对椭圆定义的理解：平面内动点P到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a,当2a>|F1段F1

F2；当

F2|时，动点

P的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，轨迹为线

2a<|F1F2|时，轨迹不存在。

2.椭圆的标准方程和几何性质:

【知识梳理】

直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判定: 把椭圆方程

Ax

2

xa

22

yb

22

1(a b 0)与直线方程y=kx+b联立消去y，整理成形如

Bx C 0的形式，对此一元二次方程有：

（1）⊿>0,直线与椭圆相交，有两个公共点；（2）⊿=0，直线与椭圆相切，有一个公共点；（3）⊿<0，直线与椭圆相离，无公共点。

2．直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，

则AB

1 x2

y1 y2

k为直线斜率

【例题精讲】

已知椭圆C的焦点F（ 21

和F（，长轴长为2，0）22，0）2

6，设直线y

x 2交椭

圆C于A，B两点，求线段AB中点的坐标。

使用openGl画直线（DDA算法）、画圆、椭圆（Bresenham算法）

#include<stdlib.h>

#include<iostream.h>

#include <GL/glut.h>

/* initialization: */

void myinit(void)

{

/* attributes */

glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 0.0); /* white background */

glColor3f(1.0, 0.0, 0.0); /* draw in red */

/* set up viewing: */

/* 500 x 500 window with origin lower left */

glMatrixMode(GL_PROJECTION);

glLoadIdentity();

gluOrtho2D(0.0, 500.0, 0.0, 500.0);

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

}

void plot_circle_points(int xc,int yc,int x,int y)//画圆

{

glBegin(GL_POINTS);

glVertex3f(xc

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椭圆上的点到直线距离最值问题

作者：饶雄

来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期

在解析几何中，椭圆上的点到直线的最短（长）距离或求动点到定直线的最短（长）距离，是我们经常遇到的问题，要解决它可以从多个方面入手.如归结为数形结合判别式法、参数方程法和柯西不等式法，以下我们举例说明. 数形结合判别式法

例1 求椭圆[x24+y212=1]上一点到直线l∶y=x-5的距离的最小值.

分析 作出直线[l]及椭圆（如图），观察图形，可以发现，利用平行直线与椭圆只有一个交点，可以求得相应的最小距离.

[F1][F][O][x][y][y=x-5]解 如图，虚线为与椭圆相切且与直线[y=x-5]平行的直线，而此直线与[y=x-5]之距即为所求.

设虚线的直线方程为y=x+b， [∴x24+y212=1，y=x+b.] 化简得[4x2+2bx+b2-12=0]. ∵相切， ∴Δ=0.

∴b=±4，由图可知b=-4，

423直线与圆的方程的应用

423直线与圆的方程的应用

例4。如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆 如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图. 拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4 AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔 拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4 需要用一个支柱支撑，求支柱A m需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度 (精确到0.01m). 精确到0.01m) 0.01m

423直线与圆的方程的应用

例4、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB 20m,拱高OP=4m AB= OP=4m, 该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建 造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A 4m需用一个支柱支撑 造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度(精确到0.01 0.01) 的长度(精确到0.01) y

x

思考:(用坐标法) 思考:(用坐标法) :(用坐标法1.圆心和半径能直接求出吗？ 1.圆心和半径能直接求出吗？ 圆心和半径能直接求出吗 2.怎样求出圆的方程 怎样求出圆的方程？ 2.怎样求出圆的方程？ 3.怎样求出支柱 怎样求出支柱A 的长度？ 3.怎样求出支柱A

第32练 直线与圆锥曲线的综合问题

[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.

常考题型精析

题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用

x2y2例1 (1)(2015·福建改编)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为

ab4

M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，5则椭圆E的离心率的取值范围是________________.

x2y22

(2)设焦点在x轴上的椭圆M的方程为＋2＝1 (b>0)，其离心率为.

4b2①求椭圆M的方程；

②若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？