勾股定理的证明方法

篇一：勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明（看前5个就可以了）

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2?b2?4?ab?c2?4?ab

22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab

等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠D

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

abba aaca a cbc ab bcb cbbca a abb做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab2等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, GDb∴ ∠AHE = ∠BEF.

a∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, c∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. H∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

c∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 b正方形. 它的面积等于c2.

a∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, AE∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 9

勾股定理的十六种证明方法

【证法1】

此主题相关图片如下：

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2) 整理得到：a^2+b^2=c^2。 【证法2】

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c^2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GH

勾股定理

学习目标

掌握勾股定理，会用面积法证明勾股定理。

导学过程

一、 忆一忆

A1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）

D（1）两锐角之间的关系：

（2）若D为斜边中点，则斜边中线是

C（3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边的关系是： 二、学一学 1、（1）、画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长

B问题：你是否发现32+42与52，52+122和132的关系，即32+4252，52+122132，

命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么。

三、合作探究：

方法1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证： a2?b2?c2 证明：4S△+S小正=S大正

accbbaaabca

c bc根据的等量关系：由此我们得出勾股定理

ab的内容是

方法2、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。

AD a根据如图所示，利用面积法证明勾股定理 b

cEcBbCaabcbabDCbAcaB

四、练一练：

篇一：正弦定理的几种证明

正弦定理的几种证明

内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400）

正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。

正弦定理的内容：

在?ABC中的三边和三角分别是

a

sinA=b

sinB=c

sinC:a,b,c和A,B,C则：

一向量法

证明：在?ABC中做单位向量

i?AB?i?(AC?CB)

|sinA?|i||CB|sinCi

⊥AC,，则：?c

sinC

a

sinA?

:bsinBa

sinA?b

sinB?c

sinC 同理可证：即正弦定理可证

证明：在?ABC中做高线CD,

则在Rt?ADC和Rt?BDC中

CD=bsinA,

CD=asinB

即bsinA=asinB

a

sinA=b

sinB,同理可证：ac

sinA=sinC,

即正弦定理可证

三外接圆法

证明：做

?ABC的外接圆O,过点C连接圆心与圆交于点设圆的半径为R

∴?CAD为Rt?,且b?RsinD,且a∠D?∠B

∴b?2RsinB,即b

sinB?2R

同理:ac

sinA?2R,sinC?2R

∴ac

sinA?b

si

篇一：余弦定理的六种证法

余弦定理的六种证法

法一(平面几何)：在△ABC中，已知AC

?b,BC?a,及?C，求c。

过A作AD?BC于D，是AD＝ACsinC?BCsinC，

CD?ACcos?bcosc,

C

在Rt?ABD中，AB2?AD2?BD2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc，

法二（平面向量）：

????????????????????????????2????????????2????2????????AB?AB?(AC?BC)?(AC?BC)?AC?2AC?BC?BC?AC?2|AC|?|BC| ????2

22222

cos(180?B)?BC?b?2abcosB?a，即：c?a?b?2abcosc

?

法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，

CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．

|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．

法四（利用正弦定理）：

先证明如下等式：sin证明：si

篇一：余弦定理的证明方法集锦

余弦定理的证明方法集錦

江苏省泗阳县李口中学沈正中

余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较

经典的几种证明方法，供大家参考！

余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两

边与其夹角余弦的积的二倍。

如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝

a，CA＝b，则c2＝a2＋b2－2abcosC（或a2＝b2＋

c2－2bccosA或b2＝c2＋a2－2cacosB）。

【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD

＝bcosC，AD＝bsinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋

AD2，即AB2＝(a－bcosC)2＋(bsinC)2＝

a2－2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝

a2－2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2abcosC。

当C重合于D时，在Rt△ABC中，

∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。

当C在D左侧时，△ABC为钝角三角

形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，cos

∠ACD＝cos(180°－C)＝－cosC，sin∠

ACD＝sin(180°－C)＝sinC，所以CD＝

bcos(180°－C)＝－bcosC，AD＝b

sin(180

一、课题：勾股定理的逆定理 二、课时数：1课时

三、主备人：简远福 四、执教人：简远福

五、班级：八（5）班 六、授课时间：2015年3月23日第二节

七、本组备课成员：向利奎、吴明瑞、简远福

17．2 勾股定理的逆定理（1）

教学目标

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理． 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法．

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系． 重点、难点

1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明． 2．难点：勾股定理的逆定理的证明． 3．难点的突破方法：

先让学生阅读课本第31页古埃及人制作三角形的方法，并要求学生做简单介绍，再动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法．充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受．

为学生搭好台阶，扫清障碍．

⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角．

⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决．

⑶先做直角，再截

北师大版八年级上册数学 第一章 探究勾股定理专项练习

探索勾股定理(01) 1．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE

⊥BC

垂足分

别是D

、E．则图中全等的三角形共有（ ）

2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC

边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）

4．如图，点A是5×5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小

正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于5/2的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）

5．如图，在把易拉罐中

的水

倒入

一

个圆

水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（ ）

6．如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm

，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为

（ ）

7．如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（ ）

8

．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则

AC

简介 勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”（相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题），在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”）。 他们发现勾股定理的时间都比中国晚（中国是最早发现这一几何宝藏的国家）。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 勾股定理的来源 毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。 毕达哥拉斯 在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。 实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，其所以