高中数学几何定理

篇一：个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲

一、

1. 梅涅劳斯定理

平面几何

证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，

(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1

逆定理证明：

证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

证明一

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，

则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1

证明二

过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

证明四

过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'

有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似， 三式相乘得1

得证。如百科名片中图。

※ 推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是

λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是A

高中数学常用平面几何名定理 定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

定理2 Ceva定理

定理3 Menelaus定理

定理4 蝴蝶定理定理

内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

定理5 张角定理

在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

定理7 Eular line：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半

定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点

已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心

定理1

①鸡爪定理：设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。

由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理，∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径 ∵AK平分∠BAC

∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI

∵IBJC四点共圆 且 KB=KI=KC

∴点K是四边形IBJC的外接圆的圆心（只有圆心满足与圆周上超过三个以上的点的距离相等） ∴KB=KI=KJ=KC

鸡爪定理逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。则I是△ABC的内心，J是△ABC的旁心。 证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。

取△ABC的内心I'和旁心J’，根据定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ

∴I和I'重合，J和J’重合 即I和J分别

常用定理

1、费马点 （I）基本概念

定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 (1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

（II）证明

我们要如何证明费马点呢：

费马点证明图形

(1)费马点对边的张角为120度。

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P

由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1

将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度

又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，

又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠P

常用定理

1、费马点

（I）基本概念

定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

（II）证明

我们要如何证明费马点呢：

）

费马点证明图形

(1)费马点对边的张角为120度。

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,

△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B

同理可得∠CBP=∠CA1P

由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度

同理,∠APB=120度，∠APC=120度

、

(2)PA+PB+PC=AA1

将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度

又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，

又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。

(3)PA+PB+PC

几何画板辅助高中数学教学

浙江省金华市江南中学 朱胜泉

【摘要】“几何画板”是一个动态讨论和研究数学问题的工具，它可以模拟知识的发生过程，可以设计成一种实验课。在数学学科中，利用“几何画板”辅助教学往往能起到事半功倍的效果。因此“几何画板”对发展学生的思维能力，培养学生的创新精神、探索能力起着不可忽视的作用。 【关键词】几何画板 高中数学 辅助教学

几何画板为数学教学提供了现代化的手段。它能使几何图形产生动态的变化，以揭示图形内在的联系，创设情境使学生“看到”某些概念的形成过程，把抽象概念形象化，从而有利于学生的理解，提高教学效果。几何画板是数形结合方法的有效平台。它还是一个动态讨论和研究数学问题的工具，对发展学生的思维能力，创新能力有着不可忽视的作用。越来越多的教师和学生已经感觉到了几何画板给中学数学带来了一些变化。

1.应用“几何画板”使不容易讲清的数学概念讲清楚

几何画板是一个教学工具，给数学教学提供了现代化的教学手段。以往不容易讲清楚的教学概念适当使用几何画板，可能容易使学生理解，从而提高了教学效果。 解析几何中有些概念容易混淆，需要辨析。椭圆的离心角（下图以OA为终边的角）与旋转角（椭圆的半径与x轴的正半轴所成的角）是

几何画板辅助高中数学教学

浙江省金华市江南中学 朱胜泉

【摘要】“几何画板”是一个动态讨论和研究数学问题的工具，它可以模拟知识的发生过程，可以设计成一种实验课。在数学学科中，利用“几何画板”辅助教学往往能起到事半功倍的效果。因此“几何画板”对发展学生的思维能力，培养学生的创新精神、探索能力起着不可忽视的作用。 【关键词】几何画板 高中数学 辅助教学

几何画板为数学教学提供了现代化的手段。它能使几何图形产生动态的变化，以揭示图形内在的联系，创设情境使学生“看到”某些概念的形成过程，把抽象概念形象化，从而有利于学生的理解，提高教学效果。几何画板是数形结合方法的有效平台。它还是一个动态讨论和研究数学问题的工具，对发展学生的思维能力，创新能力有着不可忽视的作用。越来越多的教师和学生已经感觉到了几何画板给中学数学带来了一些变化。

1.应用“几何画板”使不容易讲清的数学概念讲清楚

几何画板是一个教学工具，给数学教学提供了现代化的教学手段。以往不容易讲清楚的教学概念适当使用几何画板，可能容易使学生理解，从而提高了教学效果。 解析几何中有些概念容易混淆，需要辨析。椭圆的离心角（下图以OA为终边的角）与旋转角（椭圆的半径与x轴的正半轴所成的角）是

篇一：高一数学公式·定理复习资料大全

2012年高一暑假数学复习内容

必修5

第一章：解三角形

掌握：正弦定理：

abc

???2R.（R为?ABC外接圆的半径，）. sinAsinBsinC

?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC?a:b:c?sinA:sinB:sinC

b2?c2?a2

余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?;

2bc

2

2

2

a2?c2?b2

b?c?a?2cacosB?cosB?;

2ac

2

2

2

a2?b2?c2

c?a?b?2abcosC?cosC?

2ab

2

2

2

面积公式：⑴S?⑵S?

111

aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222

111

absinC?bcsinA?casinB 222

两角和差公式：sin(???)?sin?cos??cos?sin?;

cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

倍角公式：sin2??sin?cos?；cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?； 降幂扩角公式：cos2??

1?cos2?1?cos2?1

；sin2??；sin?cos??sin2? 222

sin?

cos?

同角三角函数关系式：sin2??cos2??1，t

【中学数学教案】

立体几何

教案

一，空间直线与直线的关系 a ，相交 b ，平行 c ，异面 a ,

相交直线 空间中

平行于同一条直线的两条直线平行 b, 平行公理： c, 异面直线： 1，求异面直线所成角问题 注：利用平

行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角

??

0?090异面直线所成角的范围

, ㈠

平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 CCABDBABCD?B和C 例：正方体中，E，F分别是中点，则直线AE111111

和BF所成角的余弦值 ㈡ 补形法 补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体 ?CAB 例：在直三棱柱中，，点分别是

90DF?ABC,?BCA?11111CCABA

中点，

BC=CA=，则所成角的余弦值 CDF,B与A1111111 1303015A、

B、 C、 D、 2101510 2，求异面直线之间的距离问题 和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线， 公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做

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《集合与函数》

内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。

函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;

正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X 是对称轴;

求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，

奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。

《三角函数》

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形