高等代数教案北大8.3不变因子

高等代数 北大版 课件

第六章 线性空间§1 集合映射 集合 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数基与坐标 维数 §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题

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§6.7 子空间的直和一,直和的定义 二,直和的判定 三,多个子空间的直和

§6.7 子空间的直和

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引入为线性空间V的两个子空间 的两个子空间, 设 V1 ,V2为线性空间 的两个子空间,由维数公式

dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 )有两种情形: 两种情形:

1) dim(V1 + V2 ) < dimV1 + dimV2此时 dim(V1 ∩ V2 ) > 0, 必含非零向量. 即,V1 ∩ V2 必含非零向量§6.7 子空间的直和

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2) dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2此时 dim(V1 ∩ V2 ) = 0,

V1 ∩ V2 不含非零向量,即 V1 ∩

授课内容 教学时数 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法与手段 第六章 线性空间 第一讲 集合映射 2 授课类型 讲授 通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义 集合映射的有关定义 集合映射的有关定义 讲授法 启发式 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作A?B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做A?B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的 教 学 过 程 元素组成的集合成为A与B的差集,记做A\\B. 定义:(集合的映射) 设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个映射,记为 f:A?B,a?f(a). 如果f(a)?b?B,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即f(A)??f(a)|a?A?. 若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 则称f为单射.若 ?b?B,都存在a?A,使

第二学期第二十三次课

§4 单变量有理函数域

9.4.1 域上的一元有理分式域的定义

设R为一整环，命S?{(b,a)|a,b?R,a?0}。现在S中规定?为

(b,a)?(d,c)?bc?ad

逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知?为一等价关系。用(b,a)表示与(b,a)等价的元素的全体。现记S关于?的等价类的集合为S，则(b,a)是S中的元素。下面

??在S?上定义二元运算：

(a,b)?(c,d)?(ad?bc,bd)

可以验证：

（1）?,?是良定义的，即与等价类代表元的选择无关； （2）(S(a,b)?(c,d)?(ac,bd)

?,?,?)对加法构成交换群，(S,?,?)?{0}对乘法也构成交换群，且加法和乘

?法满足分配律。

于是，(S,?,?)构成域，称之为R的分式域或商域，将(S,?,?)中的元素(a,b)记为??a)中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。 ，则(S,?,??b定义9.15 （域上的一元有理分式域） 若R?K[x]，则记(S?,?,?)为K(x)，并将其

称之为域上的一元有理分式域，其元素形如

9.4.2 有理分式的准素分解式

g(x)(f(x)?0)。 f(x)k定义9.16 （准素分

授课内容 教学时数 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法与手段 第四章 矩阵 第一讲 矩阵的概念 2 授课类型 讲授 要求学生了解引进矩阵的意义，理解矩阵的概念 矩阵的概念 矩阵概念的理解 讲授法 启发式 在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有 教 学 过 程 些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象. 1. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为 ?x?x?cos??y?sin?, (1) ???y?xsin??ycos?,?其中?为x轴与x?轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的2?2矩阵 ?cos???sin???s

授课内容 教学时数 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法与手段 第四章 矩阵 第一讲 矩阵的概念 2 授课类型 讲授 要求学生了解引进矩阵的意义，理解矩阵的概念 矩阵的概念 矩阵概念的理解 讲授法 启发式 在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有 教 学 过 程 些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象. 1. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为 ?x?x?cos??y?sin?, (1) ???y?xsin??ycos?,?其中?为x轴与x?轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的2?2矩阵 ?cos???sin???s

高 等 代 数

一、章节、

教 案

秦文钊

）授课计划 第 页

（目

授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 第二章 §1引言 授课 时数 通过本节的学习，使学生了解行列式的背景 要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式 启发式 讲练相结合 作业与 无 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

2

第 页

教 学 内 容 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 一、对于二元线性方程组 ?a11x1?a12x2?b1, ?ax?ax?b,2222?211小结 当a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解，即 x1?b1a22?a12b2

高等代数 第1页

第六章 向量空间

引言

从本章开始转向线性代数的主体—向量空间和线性映射，它们是数学中基本又重要的概念，其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域．本章学习向量空间的基本概念和有限维向量空间的结构．

6.1 向量空间的概念

教学目的 通过教学，使学生理解向量空间的定义及子空间的概念，掌握向量空间的基本表述．

教学重点 向量空间及其子空间的定义． 教学难点 对6.1定义1的理解． 教学内容

第三章学习的n维列(行)向量张成的向量空间的基本事实有其一般性，将它们抽象，就是我们现在要学习的向量空间．

6.1.1 定义公理·例子

定义1 设F是一个数域，F中的元素用小写拉丁字母a，b，c，?表示；V是一个非空集合，V中的元素用小写希腊字母?，β，γ,?表示．如果下列条件成立：

1°在V中定义了一个加法．对于??，β?V，V中有一个唯一确定的元素与它们对应，叫做?与β的和，记作?+β．

2°有一个“纯量乘法”．对于F中每一个数k与V中每一个元素?，有V中唯一确定的元素与它们对应，叫做k与?的积，记作k?．

《高等代数》教案

第一章 多项式

关键知识点：最大公因式,互素,不可约多项式,重因式(重根）,本原多项式,对称多项式;最大公因式存在性定理(定理2，P13）,因式分解及唯一性定理(P20),高斯引理(定理10，P30),艾森斯坦因判别定理(定理13，P33),对称多项式基本定理(定理15).

1.1 设

f(x)?x3?(1?t)x2?2x?2u,g(x)?x3?tx?u的最大公因式是一个二次多

项式,求t,u的值.

详解 作辗转相除得如下关系式:

f(x)?q1(x)g(x)?r1(x),g(x)?q2(x)r1(x)?r2(x),

其中

q1(x)?1,r1(x)?(1?t)x2?(2?t)x?u,q2(x)?1t?2, x?1?t(1?t)2?t2?t?u(t?2)2??t?2???r2(x)???x?1?2??(1?t)2??u(注:1?t?0?). ?1?t(1?t)????为使最大公因式是二次,必须:r2(x)?0,解得u?0,t??4.

1.2 证明:(f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x),(h(x)的首项系数等于1). 略证 (f,g)|f,(f,g)|g?(f,

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一、章节、

教 案

秦文钊

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（目

授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 第二章 §1引言 授课 时数 通过本节的学习，使学生了解行列式的背景 要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式 启发式 讲练相结合 作业与 无 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 一、对于二元线性方程组 ?a11x1?a12x2?b1, ?ax?ax?b,2222?211小结 当a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解，即 x1?b1a22?a12b2

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第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容:§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号

与乘积号的定义.

三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程:

1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作A?B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做A?B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集,记做A\\B.

定义:(集合的映射) 设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个映射,记为

f:A?B,a?f(a).

如果f(a)?b?B,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即

f(A)??f(a)|a?A?.

若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 则称f为单射.若 ?b?B,都存在

a?A,使得f(a)?b,则称f为满射.如果f既是单射