数学巧题巧解

实用标准文案

《数学巧学巧解大全》

《高中数学巧学巧解大全》目录

第一部分 高中数学活题巧解方法总论

第一篇 数学具体解题方法

代入法 直接法 定义法 参数法 交轨法 几何法 弦中点轨迹求法 比较法 基本不等式法 综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 构造法 数学归纳法 配方法 判别式法

序轴标根法 向量平行法 向量垂直法 同一法 累加法 累乘法 倒序相加法 分组法 公式法 错位相减法 裂项法 迭代法 角的变换法 公式的变形及逆用法 降幂法 升幂法 “1”的代换法 引入辅助角法 三角函数线法 构造对偶式法 构造三角形法 估算法 待定系数法 特殊优先法 先选后排法 捆绑法 插空法 间接法 筛选法（排除法） 数形结合法 特殊值法 回代法（验证法） 特殊图形法 分类法 运算转换法 结构转换法 割补转换法 导数法 象限分析法 补集法 距离法 变更主元法 差异分析法 反例法 阅读理解法 信息迁移法 类比联想法 抽象概括法 逻辑推理法 等价转化法 根的分布法 分离参数法 抽签法 随机数表法 第二篇 第三篇

数学

巧解高考数学选择题十法

解答高考数学选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”。 因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。下面略举数例加以说明。

1、特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

例1 △ABC的三个顶点在椭圆4x2 5y2 6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为

A、 5442 B、 C、 D、 5455

解析：题中没有给定A、B、C三点的具体位置，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，即A( 6630,0)、B(,0)，C为椭圆的短轴上的一个顶点，即C(0,)，由此225

30 0 0455 ，故选B。 可得k1k2 5660 ( )0 22

例2 △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，B是A和C的等差中项，则a+c与2b的

巧解高考数学选择题十法

解答高考数学选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”。 因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。下面略举数例加以说明。

1、特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

例1 △ABC的三个顶点在椭圆4x2 5y2 6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为

A、 5442 B、 C、 D、 5455

解析：题中没有给定A、B、C三点的具体位置，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，即A( 6630,0)、B(,0)，C为椭圆的短轴上的一个顶点，即C(0,)，由此225

30 0 0455 ，故选B。 可得k1k2 5660 ( )0 22

例2 △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，B是A和C的等差中项，则a+c与2b的

《高中物理巧学巧解大全》目录

第一部分 高中物理活题巧解方法总论

整体法 隔离法 力的合成法 力的分解法 力的正交分解法 加速度分解法 加速度合成法 速度分解法 速度合成法 图象法 补偿法（又称割补法） 微元法 对称法 假设法 临界条件法 动态分析法 利用配方求极值法 等效电源法 相似三角形法 矢量图解法 等效摆长法

等效重力加速度法 特值法 极值法 守恒法 模型法 模式法 转化法 气体压强的参考液片法 气体压强的平衡法 气体压强的动力学法 平衡法（有收尾速度问题） 穷举法 通式法 逆向转换法 比例法 推理法 密度比值法 程序法 等分法 动态圆法 放缩法 电流元分析法 估算法 节点电流守恒法 拉密定理法 代数法 几何法

第二部分 部分难点巧学

一、利用“假设法”判断弹力的有无以及其方向 二、利用动态分析弹簧弹力 三、静摩擦力方向判断 四、力的合成与分解 五、物体的受力分析 六、透彻理解加速度概念 七、区分s-t 图象和v-t图象 八、深刻领会三个基础公式

九、善用匀变速直线运动几个重要推论 十、抓住时空观解决追赶（相遇）问题

十一、有关弹簧问题中

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第一部分 高中物理活题巧解方法总论

整体法 隔离法 力的合成法 力的分解法 力的正交分解法 加速度分解法 加速度合成法 速度分解法 速度合成法 图象法 补偿法（又称割补法） 微元法 对称法 假设法 临界条件法 动态分析法 利用配方求极值法 等效电源法 相似三角形法 矢量图解法 等效摆长法

等效重力加速度法 特值法 极值法 守恒法 模型法 模式法 转化法 气体压强的参考液片法 气体压强的平衡法 气体压强的动力学法 平衡法（有收尾速度问题） 穷举法 通式法 逆向转换法 比例法 推理法 密度比值法 程序法 等分法 动态圆法 放缩法 电流元分析法 估算法 节点电流守恒法 拉密定理法 代数法 几何法

第二部分 部分难点巧学

一、利用“假设法”判断弹力的有无以及其方向 二、利用动态分析弹簧弹力 三、静摩擦力方向判断 四、力的合成与分解 五、物体的受力分析 六、透彻理解加速度概念 七、区分s-t 图象和v-t图象 八、深刻领会三个基础公式

九、善用匀变速直线运动几个重要推论 十、抓住时空观解决追赶（相遇）问题

十一、有关弹簧问题中

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第一部分 高中物理活题巧解方法总论

整体法 隔离法 力的合成法 力的分解法 力的正交分解法 加速度分解法 加速度合成法 速度分解法 速度合成法 图象法 补偿法（又称割补法） 微元法 对称法 假设法 临界条件法 动态分析法 利用配方求极值法 等效电源法 相似三角形法 矢量图解法 等效摆长法

等效重力加速度法 特值法 极值法 守恒法 模型法 模式法 转化法 气体压强的参考液片法 气体压强的平衡法 气体压强的动力学法 平衡法（有收尾速度问题） 穷举法 通式法 逆向转换法 比例法 推理法 密度比值法 程序法 等分法 动态圆法 放缩法 电流元分析法 估算法 节点电流守恒法 拉密定理法 代数法 几何法

第二部分 部分难点巧学

一、利用“假设法”判断弹力的有无以及其方向 二、利用动态分析弹簧弹力 三、静摩擦力方向判断 四、力的合成与分解 五、物体的受力分析 六、透彻理解加速度概念 七、区分s-t 图象和v-t图象 八、深刻领会三个基础公式

九、善用匀变速直线运动几个重要推论 十、抓住时空观解决追赶（相遇）问题

十一、有关弹簧问题中

351484271.doc

巧添辅助线 解证几何题

[引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归

纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。

一、倍角问题

1∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 211、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=∠α，然后证明∠1=∠β；或把

2 研究∠α＝2∠β或∠β=

∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一）

2、 ∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构

造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）

α 12图一 β β 图二 α

[例题解析]

例1：如图1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。

求证：∠DBC=

A D B C 1∠BAC. 2分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用

三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。 证

小学数学六年级趣题巧解

1.小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下。

假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟？

小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下。

假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨 6点，前后共经过了几秒钟？

分析与解题:从第一下钟声响起，到敲响第6下共有5个"延时"、5个"间隔"，共计（3+1）×5=20秒。当第6下敲响后，小明要判断是否清晨6点，他一定要等到"延时3秒"和"间隔1秒"都结束后而没有第7下敲响，才能判断出确是清晨6点。因此，答案应是： （3＋1）×6=24（秒）。

2.一个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的 1.5 倍，正着看是倒过来看的 2/ 3 。这个三位数是几？

分析与解 这个三位数是 666。其实，只要你稍加思索，就可以想出来了。这道题如果要求找一个一位数，那就是 6；找一个两位数，则是 66；找一

巧解圆中的最值问题

求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野. 基本模型

如图1、2，平面内有一定点A和一动点P,点P的运动轨迹是圆O，连结AO并延长，分别交圆于B、C两点，则AB为AP的最小值，AC为AP的最大值，即最小值为

AO?半径，最大值为AO+半径.

类型1 定点定长定圆

例1 如图3，在?ABC中，?ACB?90?，?ABC?30?，将?ABC绕顶点C顺时针旋转，得到?MNC，P、Q分别是AC、MN的中点，AC?2，连结PQ，则旋转时PQ长度的最大值是( ).

(A) 26 (B) 23 (C)

6 (D) 3

分析连结CQ，点P是定点，点Q是动点，欲求PQ长度的最大值，就得知道Q的运 动轨迹.在这里，可以利用点Q是Rt?MNC斜边的中点，得出CQ是定值，到定点的距离等 于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型，可以得出PQ长度的最大值为PC?CQ'?3，所以选D.

例2 (2015年宁波考纲)如图4，二次函

巧解正午太阳高度问题

复习班地理组 王文明

正午太阳高度问题是高中地理教学中的重点和难点。近年来，它又成为高考命题的一大亮点，可是广大考生对它的掌握并不尽人意，很多人只是死记公式，不能灵活应用。怎样帮助学生突破这一“瓶颈”呢？本人通过五年的教学实践，摸索出一些规律，希望与共行们共勉。

一、从数学角度，理解公式的推导过程 1、（1）基本概念

太阳高度：它是太阳高度角的简称，即太阳光线与地平面的夹角。 正午太阳高度：当地地方时为12点的太阳高度。

（2）正午太阳高度的计算公式：H正=90°－纬差=90°－|φ+δ|

（注：H正表示所求地的正午太阳高度，φ表示所求地的地理纬度，δ为直射点的地理纬度）

下面来看这个公式的推导过程：以北半球一点P（地理纬度φ）为例，求它的正午太阳高度H正

第一种情况：求北半球夏半年，P点的正午太阳高度H正。如图：

由上图可知此时太阳直射点的地理纬度为δ（0°<δ≤23°26’N），所以H正=∠1=90°—∠POD=90°-|φ-δ|

第二种情况，求北半球冬半年P点的正午太阳高度H正。如图：

1

由上图可知，此时太阳直射点的地理纬度为δ（0°<δ≤23°26’S）所以H正=∠1==90°—∠POD=90°-|φ+δ|

第三种情况，求春秋二分日，P点的正午太阳高度H正。如图

由上图可知，此时太阳直射点的地理纬度δ=0°所以 H正=∠1=90°-φ

故：正午太阳高度的计算