数学空间向量与立体几何知识点

一对一授课教案

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老师签名 教学主题 上次作业检查 本次上课表现 本次作业 空间向量与立体几何 学生签名

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

? ????????????????????????????????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

???b，记作a//b。

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3

空间向量与立体几何

【知识要点】

1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．

②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；

分配律：(??＋??)a＝??a＋??a；??(a＋b)＝??a＋??b． (2)空间向量的基本定理：

①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数??，使得a∥??b．

②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数??，??，使得c＝??a＋??b．

③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组??1，??2，??3，使得p＝??1a＋??2b＋??3c．

(3)空间向量的数量积运算：

①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉； ②空间向量的数量积的性质：

a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥b?a·b＝0； |a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜． ③空间向量的数量积的运算律： (??a

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α

专题十 空间向量与立体几何

【知识点总结】

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

?????OP??a(??R)

?????????????? ?????????????? OB?OA?AB?a?bBA?OA?OB?a?b;

;

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那

??么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作。

??????（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存

??在实数λ，使a＝λb。

??a//b（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB??AC <=>OC?xOA?yOB(其中x?y?1) （4）与a共线的单位向

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式

????????????????OP?xOA?yOB?zOC （其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，

????????????????????????????????????????∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ????????????∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知

O D ?ABCD，从平面AC外一点O引向量

A HE ?????????????????????????????????OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

C B G

F ????????????解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，

????????????∵EG?OG?OE，

?????????????????????????????k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)????????????????????????????????? ?k(OB?OA?OD?OA

【知识络构建】

【重点知识整合】 1．空间几何体的三视图

(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； (2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； (3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图． 2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)． 3.体积与表面积公式:

(1)柱体的体积公式:V柱?Sh;锥体的体积公式: V锥?台体的体积公式: V棱台?1Sh; 341h(S?SS??S?);球的体积公式: V球??r3.

332 (2)球的表面积公式: S球?4?R.

【高频考点突破

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式

????????????????OP?xOA?yOB?zOC （其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，

????????????????????????????????????????∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ????????????∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知

O D ?ABCD，从平面AC外一点O引向量

A HE ?????????????????????????????????OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

C B G

F ????????????解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，

????????????∵EG?OG?OE，

?????????????????????????????k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)????????????????????????????????? ?k(OB?OA?OD?OA

【知识络构建】

【重点知识整合】 1．空间几何体的三视图

(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； (2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； (3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图． 2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)． 3.体积与表面积公式:

(1)柱体的体积公式:V柱?Sh;锥体的体积公式: V锥?台体的体积公式: V棱台?1Sh; 341h(S?SS??S?);球的体积公式: V球??r3.

332 (2)球的表面积公式: S球?4?R.

【高频考点突破

高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 空间向量、立体几何

一、大纲解读

立体几何的主要内容是空间几何体，点线面之间的位置关系，空间向量与立体几何．其考查内容主要是空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、两平面的位置关系；异面直线所成的角、二面角、线面角；几何体的表面积和体积、空间几何体的三视图和直观图等.其中线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行与垂直判定定理与性质定理是考查的重点.对于理科生来说，空间向量作为一种新的快捷有效的工具已被广泛应用于解决立体几何综合问题，是高考的焦点所在. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二、高考预测

一般来说立体几何有两个左右的选择题或填空题和一道解答题，约20-25分，占整章试卷的15％. 选择题或填空题考查的是空间几何体和点线面位置关系的基本问题，与三视图相结合考查是一种典型题型；解答题近年已成为一个较为固定的模式，以多面体（少数为旋转题）为载体，考查点线面的位置关系的判断推理，求空间角和距离，求有关最值和体积一般分步设问，难度逐渐增大，但都可以用基本方法解决，理科生要会用空间向量来解决这类问题.

三．重点剖析

立体几何的重点内容是柱锥台球的表面积和体积，空间几何体的三视图和直

高考专题训练七 空间向量与立体几何

班级_______ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1

→→

的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为( )

1

A. 92

C.5 9

4B.5 92D. 3

解析：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建系，

?1??1?

设正方体棱长为1，则C(0,1,0)，M?1，0，2?，D1(0,0,1)，N?1，1，2?，

?

?

?

?

1－4→?1?→?1?→→

∴CM＝?1，－1，2?，D1N＝?1，1，－2?，∴cos〈CM，D1N〉＝

33????

×221＝－，

9

→→45

∴sin〈CM，D1N〉＝.故选B.

9答案：B

2．(2011·全国)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )

2A. 3

3B. 3

C.

6 3

D．1

→2→→→2

解析：由AB＝(AC＋CD＋