能量积分法

《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院

§8.2 换元积分法与分部积分法

教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．

基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学建议：

(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法． 教学过程：

一、第一类换元法 ——凑微分法：

有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分?，如果凑上一个常数因子2，使成为 11cos2xdx?cosx?2xdx?cos2xd?2x????22

cos2xdx令2x?u则上述右端积分

111cos2xd2x?cosudu?sinu?C??2?2?2

然后再代回原来的积分变量x，就求得原不定积分

?cos2xdx?更一般的，若函数并且复合运算

F????x???1sin2x?C2

F?x?是函数

f?x?的一个原函数，

????x?是可微函数，

有意义，根据复合函数求导法则

?F??

宿 迁 学 院

数控原理与系统课程设计报告

任务： 数字积分法第一、二象限

直线插补程序设计

姓名： 孙企圣 学号： 080711226 班级： 08数控本2班

目录

一、课程设计目的

二、课程设计使用的主要仪器设备 三、课程设计的任务 四、课程设计主要内容

4.1数字积分法直线插补的基本原理 4.1.1从几何角度来看积分运算

4.1.2数字积分法在轮廓插补中的具体应用 4.2插补终点判别的具体实现 4.3插补器的组成

4.4提高插补精度的措施 4.5减少误差的方法

4.6数字积分法直线插补框图

4.7数字积分法（第一二象限）直线插补程序流程图 五、结论 六、结束语 七、参考书目

八、数字积分法直线插补程序清单（第一二象限）

九、软件运行仿真效果及调试修改过程

一、课程设计目的

1)了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。 2) 掌握数字积分（DDA）插补的基本原理。 3）掌握数字积分（DDA）插补的软件实现方法。

二、课程设计使用的主要仪器设备

1.PC计算机一台 2.数控机床实验装置一台 3.支持软件若干（选用VB环境）

三、课程设计的任务

数字积分法又称数字微分分析

§4-4 高斯积分法及其应用

由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分：



1

1 1

1

f( , )d d ；

1

1 1 1

11

f( , , )d d d

其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。

数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξη，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。

数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。

一、高斯积分法 1．一维积分的高斯公式

一维积分的高斯公式

1

n

1

f( )d

H

i 1

i

f( i)其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi处的数值，Hi为加数系数，n为积分点数目。

可以证明，

对于n个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。

由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。 例如， n=1时

I

1

1

f( )d H1f( 1)１

不论f(ξ)的次数是0

§4-4 高斯积分法及其应用

由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分：



1

1 1

1

f( , )d d ；

1

1 1 1

11

f( , , )d d d

其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。

数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξη，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。

数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。

一、高斯积分法 1．一维积分的高斯公式

一维积分的高斯公式

1

n

1

f( )d

H

i 1

i

f( i)其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi处的数值，Hi为加数系数，n为积分点数目。

可以证明，

对于n个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。

由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。 例如， n=1时

I

1

1

f( )d H1f( 1)１

不论f(ξ)的次数是0

高等数学同济六版(上)

第三节 定积分的换元法和 分部积分法不定积分

第五章

换元积分法分部积分法

定积分

换元积分法分部积分法

一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法43

高等数学

●

戴本忠

高等数学同济六版(上)

学习指导1.教学目的：掌握运用换元公式求解定积分问题的方法；掌 握用分部积分法公式计算定积分的方法。 2.基本练习： (1) 用换元法计算定积分； (2) 被积函数具有奇偶性或周期性的定积分计算； (3) 利用换元法和被积函数的奇偶性及周期性来证明某些 定积分公式。 (4) 用分部积分法计算定积分。 3.注意事项： (1)换元法的目的是将复杂的或者抽象的被积函数变量代 换为常见的积分形式，所以基本的积分公式一定要熟记， 要掌握换元法所遵循的几个原则以正确地应用换元法。 (2)运用分部积分公式的关键是正确地选取u(x) 和v(x) 。熟 练掌握运用分部积分法的几种常用类型可帮助对u(x) ,v(x) 的选取。43

高等数学

●

戴本忠

高等数学同济六版(上)

定积分的换元积分法根据

a f ( x )dx F (b) F (a ).微积分基本公式

b

不定积分法

定积分法，

且使用方法与相应的不定积分法类似。

43

高等数学

●

戴本忠

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定理 假

南京工程学院自动化学院本科毕业设计（论文）

自动化学院

本科毕业设计（论文）

题目：数字积分法轮廓插补的FPGA实现方法

I

南京工程学院自动化学院本科毕业设计（论文）

摘要

本论文设计完成的芯片由VHDL编程设计，它能按照程序设计要求，实现利用DDA插补法对直线和圆弧各个象限的插补。

本论文主要介绍了DDA插补法的插补原理、芯片设计及在MAXPIUSⅡ环境下的仿真。

为了提高伺服电机的步进精度，简化控制器结构，采用FPGA器件并运用VHDL 语言设计出的插补控制器，不仅采用数字积分法实现直线插补控制和圆弧插补控制，提高了插补速度和插补精度，而且运用多轴联动技术，实现输出脉冲的均匀分配。它可接收外部处理器指令，并发出所需的脉冲到伺服电机的驱动中，从而控制伺服电机的运转，其结果证明了该控制器的正确性。这种结构的控制器简化了一般数字控制器结构，具有良好的移植性能和一定的实用价值。

关键字：数字积分法；轮廓插补；FPGA

II

南京工程学院自动化学院本科毕业设计（论文）

ABSTRACT

In this paper, chip design is completed by the VHDL Programming, it design requirements in acco

第一章 初等积分法

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数.

然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等.

物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数.

在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为：

dsdy?5，?2x），这类方程就叫做微分方程. dtdx本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法.

1.1 微分方程的基

目录

一、课程设计介绍

1.1 任务说明??????????????????????? 3 1.2要求????????????????????????? 3 二、程序操作及算法流程图

2.1 DDA法插补直线流程??????????????????3 2.2逐点比较法插补逆时针圆弧流程?????????????4 三、 用户使用说明

3.1 程序开始运行时显示介面????????????????5 3.2 执行计算???????????????????????5 3.3 DDA法直线插补实例??????????????????6 3.4 逐点比较法插补第二三象限逆时针圆弧??????????7 四、主要算法及源程序

4.1 程序设计概述?????????????????????8 4.2 主要算法的实现????????????????????8

4.2.1 参数声明??????????????????????????8 4.2.2复位操作????????????????????????9 4.2.3单步操作?????????????????????11 4.2.4 连续插补????????????????????????11 4.2.5 辅助

复合函数微分法与隐函数微分法

一、复合函数微分法复习： 一元复合函数 y f (u), u ( x)

dy dy du 求导法则 dx du dx微分法则 dy f (u)du f (u) ( x)dx要求：熟练掌握多元复合函数求导的链式法则

1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理：若函数u=u(t),v=v(t)都在点t可导，函数z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导数连续，则复合函数z=f(u(t),v(t)) 在点t可导，且有链式法则： z

dz z du z dv dt u dt v dt(1)z只有一个自变量 (2)z有两个中间变量 (3)两个中间变量u,v都只一个自变量

u t

v t

证明略

推广： 设z=f(u,v,w) ,u=u(t),v=v(t),w=w(t) ,

则z=f(u(t),v(t),w(t))对t的导数为

z u t v t w t

全 导 数 公 式

dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt

dz z du z dv dt u dt v dt

2、复合函数的中间变量均为多元函数的情

量子力学的变分法-量子力学的变分法

　　当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。　　
量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

　　若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
　　这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现