一线性规划问题的对偶问题最优解中

线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用

摘 要

线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解.

关键词：线性规划；原问题；对偶问题 ；转化

Linear Programming is the Original Problem and the Transformation of

the Dual Problem and Applications

Abstract: Linear programming in operational research is research earlier, rapid development and wide application, the method is an important branch of mature, it is one of

第四章 线性规划的对偶理论

一、填空题

1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的

线性规划问题与之对应，反之亦然。

2．在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。 3．如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式_。 4．对偶问题的对偶问题是原问题_。

5．若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题不可行。

6．若某种资源的影子价格等于k。在其他条件不变的情况下(假设原问题的最佳基不变)，当该种资源增加3个单位时。相应的目标函数值将增加3k 。

﹡－

7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优解Y= CBB1。

﹡﹡﹡﹡

8．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX= Yb。 9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。

﹡﹡﹡

10．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX=Y*b。

11．设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为min=Yb YA≥c Y≥0_。 12．影子价格实际上是与原问题各约束条

运筹学EXCEL操作介绍

使用Excel解线性规 划问题2010年10月15日

参考书目：

《Excel数据建模与应用》,第4章，清华大学出版社 《数据、模型与决策》第二章附录，机械工业出版社

运筹学EXCEL操作介绍

一个简单的例子某工厂计划生产两种产品，利润分别为2和3,已知生产单 位产品所需的设备台时和A、B两种原材料的消耗，如表

设备 原材料A 原材料B

产品1 1 4 0

产品2 2 0 4

8台时 16KG 12KG

目标是不超过资源限制的情况下，确定两产品产量，得 到最大利润。

运筹学EXCEL操作介绍

建立数学公式(步骤一)在工作表的顶部输入数据 确定每个决策变量所对应 的单元格位置 选择单元格输入公式，找 到目标函数的值 确定约束单元格输入公式， 计算每个约束条件左边的 值 确定约束单元格输入公式， 可采用 ‘复制粘贴’ 或 ‘直 计算每个约束条件右边的 接输入’ 的方式导入数据。 值

运筹学EXCEL操作介绍

建立数学公式(步骤二)在工作表的顶部输入数据 确定每个决策变量所对应 的单元格位置 选择单元格输入公式，找 到目标函数的值 选择一个单元格输入公式， 计算每个约束条件左边的 值 选择一个单元格输入公式， 计算每个约束条件右边的 值

图中，规定B1

第四章 线性规划的对偶理论

一、填空题

1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的

线性规划问题与之对应，反之亦然。

2．在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。 3．如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式_。 4．对偶问题的对偶问题是原问题_。

5．若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题不可行。

6．若某种资源的影子价格等于k。在其他条件不变的情况下(假设原问题的最佳基不变)，当该种资源增加3个单位时。相应的目标函数值将增加3k 。

﹡－

7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优解Y= CBB1。

﹡﹡﹡﹡

8．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX= Yb。 9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。

﹡﹡﹡

10．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX=Y*b。

11．设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为min=Yb YA≥c Y≥0_。 12．影子价格实际上是与原问题各约束条

第35卷第1期2005年1月

数学的实践与认识

Vol.35　No.1　

Jan.,2005　

确定线性规划全部最优解的方法

薛声家,　左小德

(暨南大学管理学院,广东广州　510632)

摘要:　使用凸多面体的表示定理,导出了标准型线性规划最优解的一般表达式,并基于单纯形法,给出最

优解唯一性条件以及当唯一性条件不满足时求出全部最优解的计算步骤,同时附有数值例子.

关键词:　线性规划;凸多面体;最优解;单纯形法

一般说来,实际上的经济管理问题所形成的线性规划的最优解给出了该实际问题的最佳实施方案.当线性规划有不止一个最优解时,便存在无穷多个最优解,求出线性规划的多个最优解是件很有意义的工作,因为它可以提供更多的最优方案供决策者选择.目前虽有不少文献对线性规划无穷多个最优解的情况进行了讨论,但有些存在错误和缺陷[1,2],另一些则讨论得不够完整、深入,缺乏详细有效的求解方法.本文使用凸多面体的表示(分解)定理,导出了标准型线性规划最优解的一般表达式,给出确定全部最优解的计算步骤,并附有数值例子.

1　线性规划最优解的一般表达式

考虑标准型线性规划问题:

Maxz=cTx

(SLP)s.t.Ax=b

xE0

　　其中,A为m×n阶矩阵,c和x为n维列向量,b为m维列

。

运筹学

课程案例分析

设计题目：

线性规划问题的食品搭配最优方案

专业金融学

班级金融112

学生卢雪贞

学号

-可编辑修改-

。

2012—2013 年第1 学期

目录

一．摘要............................................... 错误!未定义书签。

1.问题的提出.................................................................................................... 错误!未定义书签。

2.关键字............................................................................................................ 错误!未定义书签。二．正文............................................... 错误!未定义书签。

1.研究背景......................................................................................

线性规划中的整点问题求解方法

线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。新教材中增加了线性规划的内容，充分体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识。由于实际问题中线性规划问题的最优解多为整数解，也是学生学习线性规划的难点，因而求线性规划的整数最优解的方法就显得尤为重要了。但教材中对此类问题却一带而过，对于具体的验算过程并没有作必要的描述，以致学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。

例1：

要将两种大小不同的的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示，今需要A、B、C三种规格的成品分别为15，18，27

且使所用钢板张数最少。

解：设需要截第一种钢板x张，第二

2x y 15 x 2y 18

张钢板y张，则 x 3y 27，作出可行

x 0 y 0

域（如图所示）,目标函数为z x y出在一组平行直线x y t中（t为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x 3y 27和直线2x y 15的交点A(,于

1839572

)，直线方程为x y 11，由5555

18391839

和都不是整数，而最优解(x,y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点 A(,)5555

简单的线性规划问题（1）

三维目标

知识与能力：了解线性规划的常用术语、掌握确定二元一次不等式所表示的平面区域得方法

过程与方法：通过实例介绍线性规划的常用术语，利用二元一次方程将平面分成两部分进而确定二

元一次不等式所能表示的平面区域

情感态度与价值观：通过学习，激发学生探索欲望、热爱数学学习的激情，引导正确的价值观、人

生观，使学生不断建立信心，成为自主学习的真正主体。

教学过程： 一．创设情景

我们先考察生产中的遇到的一个问题：

某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲种产品需要A种原料4吨、B种原料12吨，产生的利润为2万元；生产1吨乙种产品需要A种原料1吨、B种原料9吨，产生的利润为1万元。现在库存A种原料10吨、B种原料60吨，如何安排生产才能使利润最大？ 为理解题意，可将已知数据整理成下表： 甲种产品（1吨） 乙种产品（1吨） 现在库存（吨） A种原料（吨） B种原料（吨） 4 12 1 9 10 60 利润（万元） 2 1 设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x,y，利润为P（万元）。根据题意，A,B两种原料分别不得超过10吨和60吨，又常量不可能是负数，于是可得二元一次不等

3.3.2简单的线性规划问题的教学设计

一、教材分析：

本节是新教材（人教A版）必修5：3.3.2简单的线性规划问题（第一课时）的内容：在学习了利用不等关系描述客观世界、二元一次不等式（组）与平面区域的对应关系两节内容后，又补充了直线的斜率和倾斜角的基础上来学习本节的线性规划问题。经过前两节的铺垫，本节课学生将学习以下几点：

（1）正确构造线性约束条件、线性目标函数； （2）明确线性目标函数的几何意义； （3）利用图解法求线性目标函数的最值问题。

二、学情分析：

本节课之前学生通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，本节线性规划求最优问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，如果不在前面打好基础，就会增加本节课学习的难度。学生没有学习直线方程的斜截式，如果本节涉及截距的话，怕学生理解不到位，所以，我选择避开截距，而继续用初中学生比较熟悉的与y轴交点的纵坐标来说明。从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还不熟练，这成了学生学习的困难。

三、教学目标：

知识和技能：

（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线

线性规划 毕业论文

聊 城 大 学

LIAOCHENG UNIVERSITY

线性规划问题在实际生活中的应用

线性规划 毕业论文

线性规划(LP)问题的求解

摘要：生活中的很多问题涉及线性规划问题，如组合投资、运输问题、生产组织问题等。本文中通过将线性规划问题的数学模型的一般形式转变为标准形式，从而应用单纯形法求解。但单纯形法的运算量较大，应用excel、matlab等软件求解既快又准。 关键词：线性规划、单纯形法、matlab\excel求解

Linear programming (LP) problems’ solving

Abstract:Many problems refer to the linear programming problems in our life,such as portfolio investment、transportation problem、organization of production problems,and so on. In this paper through transforming the general form of the mathematical model of linear progr